Management and Future Technologies | Volume 1, Issue 2 | № 002

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 References 1. Borovkov A.A.: Probability Theory. URSS, Moscow, 2009. 2. Себастъянов Б.А.: Курс теории вероятностей и математическая статистика. Москва, Наука, 1982. 3. Petrov V.V.: One-sided law of large numbers for ruled sums. Vestnik Leningrad. Univ., 1974, pp. 55-59. 4. Феллер В.: Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Москва, Мир, 1984. 5. Гихман И.И., Скороход А.В.: Теория вероятностей и математическая статистика, Киев, Выщая школа, 1979. 6. Feller W.: An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol.1. John Wiley & Sons, 1968. 7. Asmussen S. and Hering H.: Branching processes. Birkhauser, Boston, 1983. 8. Athreya K.B. and Ney P.E.: Branching processes. Springer, New York, 1972. 9. Pakes A.G.: Revisiting conditional limit theorems for the mortal simple branching process. Bernoulli, 1999, 5(6), 969-998. 10. Bennett G.: Probability inequalities for the sum of independent random variables. Journ. Amer Statist. Assoc. 1962, vol. 57, pp. 33-45. 11. Kolchin V.F.: Random mappings. Nauka, Moscow, 1984. (Russian) 12. Lambert A.: Quasi-stationary distributions and the continuous-state branching process conditioned to be never extinct. Elec. J. Prob., 2007, 12, 420-446. 141

Volume 1, Issue 2 June 2024 142 Authors Akhmedjonov Nodirbek Department of Fundamental Sciences, “University of Management and Future Technologies”, Tashkent, 100208, Uzbekistan; Department of Mathematics and Physics, VATAN UNIVERSITY University, Tashkent, Uzbekistan; nodirbek.axmedjonov@bk.ru Management and Future Technologies journal.umft.uz PROSPECTS FOR USING PEROVSKITE TANDEM SOLAR CELLS A bstract: Perovskite solar cells represent the fastest growing solar cell technology in terms of improving energy conversion efficiency over the past decade. This has emerged as a promising technology for low-cost, highefficiency next-generation photovoltaic systems, including multi-junction tandem cell concepts. Double junction tandem cells have a much higher efficiency of 45%, which exceeds the Shockley–Queisser limits of single junction solar cells. Keywords: perovskite, solar cells, efficiency, tandem, multijunction tandem cells. Copyright: © 2024 by the authors. This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution (CC BY) license (https:// creativecommons.org/licenses/ by/4.0/).

Management and Future Technologies journal.umft.uz ПЕРСПЕКТИВЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПЕРОВСКИТНЫХ ТАНДЕМНЫХ СОЛНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ А June 2024 Volume 1, Issue 2 143 Mualliflar Ахмеджонов Нодирбек Кафедра фундаментальных наук, “University of Management and Future Technologies”, Ташкент, 100208, Узбекистан; Кафедра математики и физики, университета VATAN UNIVERSITY, Ташкент, Узбекистан; nodirbek.axmedjonov@bk.ru ннотация: Перовскитные солнечные элементы представляют собой самую быстроразвивающуюся технологию солнечных элементов с точки зрения повышения эффективности преобразования энергии за последнее десятилетие. Это стало многообещающей технологией для создания недорогих и высокоэффективных фотоэлектрических систем нового поколения, включая концепции многопереходных тандемных элементов. Тандемные элементы с двойным переходом имеют гораздо более высокий КПД - 45%, что превышает пределы Шокли– Квиссера для солнечных элементов с одним переходом. Ключевые слова: перовскит, солнечные элементы, КПД, тандем, многопереходных тандемных элементов. Copyright: © 2024 by the authors. Ushbu maqola Creative Commons Attribution (CC BY) litsenziyasi shartlari asosida tarqatiladigan ochiq foydalanish maqolasi hisoblanadi (https://creativecommons.org/ licenses/by/4.0/).

Volume 1, Issue 2 144 June 2024 Management and Future Technologies journal.umft.uz Основная часть Технология солнечных элементов на основе кристаллического кремния в настоящее время доминирует на коммерческом рынке фотоэлектрической техники благодаря своей надежности с точки зрения технологии производства, надежности продукции и низким производственным затратам, которые значительно снизились за последнее десятилетие, что привело к экспоненциальному росту числа установок по всему миру. Однако существующая технология основана на однокристальном кремниевом солнечном элементе, который по своей сути ограничен с точки зрения эффективности преобразования энергии (PCE). Максимальный практически достижимый предел составляет 29,4% с учетом ожеǦрекомбинации в кремниевом материале. В случае, когда ширина запрещенной зоны одиночного перехода не ограничена и отсутствуют неидеальные потери, теоретический предел при стандартном освещении AM1.5G составляет 33,8%, что далеко от 100%. Основными факторами, влияющими на это различие, являются подзонный зазор и потери на термализацию. Первое происходит от фотонов с энергией, меньшей, чем ширина запрещенной зоны полупроводника в однопереходном солнечном элементе, которые не могут быть поглощены путем создания электронноǦдырочных пар, а второе Ǧот фотонов с энергией, превышающей ширину запрещенной зоны, которые поглощаются, но их избыточная энергия рассеивается в виде тепла. Многопереходные тандемные солнечные элементы представляют собой совокупность солнечных элементов с различной шириной запрещенной зоны (наибольшей на стороне, обращенной к солнцу), что позволяет каждому элементу более эффективно поглощать различные части солнечного спектра, сводя к минимуму подзонную ширину и потери на термализацию. На рисунках 1(а) и 1() показаны две конфигурации тандемных ячеек с двумя переходами. На рисунке 1(с) показано уменьшение подзоны и потерь на термализацию по мере увеличения числа переходов в тандемной батарее. Предел теоретической эффективности многопереходных устройств также увеличивается с увеличением количества переходов с 45% для двойных переходов до 51% для тройных переходов и до 55% для тандемов с четырьмя переходами, как показано на рис. 1(d). За последние несколько десятилетий для солнечных элементов IIIǦV типа были внедрены концепции с несколькими переходами, особенно для космических применений, где эффективность преобразования энергии имеет первостепенное значение, перевешивая затраты.Тандем с двумя переходами является простейшей реализацией многопереходного подхода. Они могут быть реализованы путем механического наложения элемента с высокой пропускной способностью поверх элемента с низкой пропускной способностью, при этом элементы работают независимо друг от друга электрически. Общая мощность Ǧ это сумма мощностей, генерируемых каждым элементом. Такой подход требует наименьших усилий по интеграции, позволяя изготавливать и оптимизировать элементы независимо друг от друга за счет дополнительной проводки и изолирующего слоя между элементами, что влечет за собой дополнительные затраты. Изолирующий слой необходимо выбирать таким образом, чтобы уменьшить несоответствие показателя преломления при взаимодействии с ячейками, чтобы свести к минимуму оптические потери изǦза френелевского отражения. Прозрачные электроды также должны обладать достаточной боковой проводимостью для автономной работы ячейки, но неизбежно приведут к некоторому уровню потерь оптической передачи.

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 145 Рисунок2.ȋ) 1. Схемы двух типов тандемных с двумя переходами: (a) Рисунок Кристаллическая структураконфигураций кубического перовскита. () Графически тандем спредел механическим соединением четырех выводов (4T) и (b) тандем с показан эффективности различных монолитных тандемов с двойным монолитной интеграцией двух выводов (2T). соединением на основе перовскита. Монолитно интегрированный тандем представляет собой более элегантный тандемный подход, обычно включающий изготовление ячейки с высокой пропускной способностью непосредственно на ячейке с низкой пропускной способностью. Это означает, что технологии изготовления верхней ячейки должны быть “совместимы с нижней ячейкой”, чтобы не привести к какимǦлибо повреждениям во время обработки ячейки. Также требуется изготовление соединительного слоя (слоев), но он может быть выполнен сверхтонким, поскольку слой или стопка отвечают только за вертикальную (а не боковую) транспортировку носителя. Это может быть сделано с помощью туннельных или рекомбинационных слоев в виде селективных слоевǦносителей, прозрачного проводящего оксида (TCO), такого как оксид индияǦолова (ITO), или ультратонкого металла. Поскольку ячейки электрически соединены последовательно, выходное напряжение тандема будет равно сумме напряжений отдельных ячеек. Однако ток будет ограничен ячейкой с наименьшей выходной мощностью. Это подчеркивает важность эффективности отдельных ячеек для тандемов. Нет смысла размещать низкоэффективную ячейку с высокой пропускной способностью поверх высокоэффективной ячейки, “отбирая” у нее ценный солнечный свет. Поэтому технологии, выбранные для тандемных ячеек, должны быть сопоставимыми и обеспечивать одинаковую эффективность.

Volume 1, Issue 2 146 June 2024 Management and Future Technologies journal.umft.uz Технология гибридных металлогалогенных солнечных элементов на основе перовскита (кристаллическая структура перовскита показана на рис. 2(а)) недавно стала перспективным кандидатом для использования в тандемах с несколькими переходами благодаря быстрому повышению эффективности преобразования энергии (КПЭ) с 3,8% в 2009 году до недавно сертифицированных 25,5% в 2020 году. Высокая производительность обусловлена высокой эффективностью внешнего излучения (ARE), сравнимой с эффективностью солнечных элементов из кремния и селенида индияǦ галлия (CIGS). Перовскиты обладают сильным оптическим поглощением, что означает, что ячейки могут быть изготовлены в виде тонких пленок и их можно легко изготовить с помощью обработки в растворе. Ширина запрещенной зоны также может быть изменена (например, с 1,20 до 2,3 эВ) с помощью разработки состава. Все эти свойства делают металлогалогенидные перовскиты весьма желательными для применения в тандемных элементах. Совсем недавно появились сообщения о тандемах перовскит–ǡ перовскит–CIGS, перовскит–перовскит и перовскит–органическая фотоэлектрика (OPV), которые продемонстрировали многообещающую эффективность преобразования энергии. На рисунке 2() показаны потенциалы эффективности тандемных солнечных элементов на основе перовскита с двойным переходом, основанные на расчетах предела ШоклиǦКвиссера с учетом ширины запрещенной зоны, указанной в таблице на рисунке. По 2 для каждого подэлемента. Значения запрещенной зоны для нижних ячеек Si, CIGS, перовскита и OPV основаны на том, что было продемонстрировано или осуществимо, особенно для перовскита и OPV. Верхние полосы пропускания ячеек основаны на наилучших значениях, которые обеспечивают наивысшую производительность тандемных ячеек при условии 100%Ǧного поглощения и отсутствия неидеальной рекомбинации несущих в любой из подсистем, что позволяет достичь эффективности преобразования энергии выше 40%. Это свидетельствует о большом потенциале этих технологий, позволяющем преодолеть пределы эффективности однопереходных ячеек. Выводы и перспективы Хотя некоторые проблемы уникальны для каждой технологии, общие задачи включают разработку высокопроизводительного и стабильного перовскита с широкой запрещенной зоной, что наиболее важно для полной реализации потенциала элементов с несколькими переходами на основе перовскита. Считается, что благодаря постоянным исследованиям и разработкам в области перовскитной фотоэлектрики будет достигнут дальнейший прогресс, и о прорывах в тандемах стройным переходом будет сообщено в самом ближайшем будущем.

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 Литература 1. The Mechanical Engineering Industry Association for PV (VDMAPV), International Technology Roadmap for Photovoltaic (ITRPV). 2019 Results, 11th ed. (Mechanical Engineering Industry Association for PV, 2020). 2. P. K. Nayak, S. Mahesh, H. J. Snaith, and D. Cahen, “Photovoltaic solar cell technologies: Analysing the state of the art,” Nat. Rev. Mater. 4(4), 269–285 (2019). 3. R. M. Swanson, “Approaching the 29% limit efficiency of silicon solar cells,” in Conference Record of the Thirty-First IEEE Photovoltaic Specialists Conference (IEEE, 2005), pp. 889–894. 4. A. Richter, M. Hermle, and S. W. Glunz, “Reassessment of the limiting efficiency for crystalline silicon solar cells,” IEEE J. Photovoltaics 3(4), 1184–1191 (2013). 5. M. A. Green, “Limiting photovoltaic efficiency under new ASTM International G173-based reference spectra,” Prog. Photovoltaics 20(8), 954–959 (2012). 6. S. P. Bremner, C. Yi, I. Almansouri, A. Ho-Baillie, and M. A. Green, “Optimum band gap combinations to make best use of new photovoltaic materials,” Sol. Energy 135, 750–757 (2016). 7. See https://www.nrel.gov/pv/cell-efficiency.html for NREL (last accessed Aug 19, 2021). 8. L. C. Hirst and N. Ekins-Daukes, “Fundamental losses in solar cells,” Prog. Photovoltaics 19(3), 286–293 (2011). 9. T. Duong, H. Pham, T. C. Kho, P. Phang, K. C. Fong, et. all. “High efficiency perovskite–silicon tandem solar cells: Effect of surface coating versus bulk incorporation of 2D perovskite,” Adv. Energy Mater. 10, 1903553 (2020). 10. Y. Ko, H. Park, C. Lee, Y. Kang, and Y. Jun, “Recent progress in interconnection layer for hybrid photovoltaic tandems,” Adv. Mater. 32(51), 2002196 (2020). 147

Volume 1, Issue 2 June 2024 148 Authors Surojiddin Pardabayev Department of Fundamental Sciences, “University of Management and Future Technologies”, 100204, Tashkent, Uzbekistan; sherzodmurodov123@gmail.com Management and Future Technologies journal.umft.uz SOME NONGENERIC VOLTERRA-TYPE STOCHASTIC OPERATORS OF ORDER 4 ON S2 SIMPLEX A bstract. In the 70s of the last century, quadratic stochastic operators and their application in modeling genetics began to be studied. The study of cubic stochastic operators and their applications began in 2000. Currently, there is a lot of information about them. But it was not possible to fully study cubic operators in two-dimensional simplex. Due to the large number of parameters, no internal fixed point overview was found. It is not even possible to fully study the volterra type. Therefore, an attempt is being made to isolate and study a larger family. Key words: Simplex, stochastic operators, volterratype operators, two-dimensional, V quadratic evolutionary operator, ergodic, fixed point. Copyright: © 2024 by the authors. This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution (CC BY) license (https:// creativecommons.org/licenses/ by/4.0/).

Management and Future Technologies journal.umft.uz S2 SIMPLEKSDA VOLTERRA TIPIDAGI, UMUMIY HOLATDA BO‘LMAGAN BA’ZI 4-DARAJALI STOXASTIK OPERATORLAR June 2024 Volume 1, Issue 2 149 Mualliflar Surojiddin Pardabayev Fundamental fanlar kafedrasi, “University of Management and Future Technologies” universiteti, 100204, Toshkent, O‘zbekiston; sherzodmurodov123@gmail.com A nnotatsiya. O‘tgan asrning 70-yillarida kvadratik stoxastik operatorlar va ularning genetika masalalarini modellashtirishdagi tadbiqlari o‘rganila boshlandi. Kubik stoxastik operatorlar, ularning tadbiqlarini o‘rganish 2000 yillarda boshlangan. Hozirgi kunda ular haqida olingan ma’lumotlar anchagina ko‘p. Lekin ikki o‘lchamli simpleksdagi kubik operatorlarni to‘liq o‘rganish imkoni bo‘lmagan. Parametrlar ko‘pligi bois, ichki qo‘zg‘almas nuqta umumiy ko‘rinishi topilmagan. Xatto, volterra tipidagilarni to‘liq o‘rganish mumkin bo‘lmayapti. Shuning uchun biror kattaroq oilani ajratib olib o‘rganishga xarakat qilinmoqda. Kalit so‘zlar: Simpleks, stoxastik operatorlar, volterra tipidagi operatorlar, ikki o‘lchamli, V kvadratik evolyutsion operator, ergodik, qozg‘almas nuqta. Copyright: © 2024 by the authors. Ushbu maqola Creative Commons Attribution (CC BY) litsenziyasi shartlari asosida tarqatiladigan ochiq foydalanish maqolasi hisoblanadi (https://creativecommons.org/ licenses/by/4.0/).

Volume 1, Issue 2 June 2024 Management and Future Technologies journal.umft.uz Kirish 150 bo‘lib, cheklangan o‘lchovli simpleksda ishlaydi. Bunday holda, biologik tizimning evolyutsiyasi Ǥ Ǥ ǡ ǤǤ ȏͳͲȐǡ Yu.I.Lyubich va boshqa mualliflarning ishlarida oʻrganilgan. Biologik tizimni o‘rganishda analitik va ehtimollik usullarini qo‘llash T.A. Sarimsoqovning [15] asarlarida taklif qilingan va Ǥ o‘rganildi. R.N.G‘anixo‘jaev [16] Volterra tipidagi kvadratik stoxastik operatorlarni grafik nazariyasi va differensial tenglamalar nazariyasidan foydalangan holda o‘rgangan. Bu Ǧ harakatlarini o‘rganishdir. E'tibor bering, hatto ikki o‘lchovli simpleksda ham muammo to‘liq Ǥ Populyatsiya genetikasi muammolari so‘nggi ikki asr davomida ko‘plab matematiklar nidan o‘rganildi. Chekli o‘lchovli simpleksda harakat qiluvchi kvadratik stoxastik operatorlar populyatsiya genetikasi muammolarida tabiiy ravishda paydo bo‘ladi. Bunday ǡǤ ǤǤǡ Ǥ Ǥ ǡ Ǥǡ Ǥǡ S.N.Bernshteynlar asarlarida oʻrganilgan. Dinamik tizimlarni o‘rganishning ehtimollik usullari birinchi bo‘lib T.A.Sarymsokov tomonidan qo‘llanilgan. Uning t tizimlar batafsil o‘rganila boshlandi. R.N.Gʻanixoʻjaev ishlarida Volterra tipidagi kvadratik foydalangan holda oʻrganilgan. Ushbu n Ǧharakatlarini o‘rganishdir. Ǧbiologiya masalalarida tabiiy ravishda dinamik sistemalar paydo bo‘ladi, (mǦ 1) o‘lchovli 𝑚𝑚 𝑆𝑆 𝑚𝑚−1 = {𝑥𝑥 = (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑚𝑚 ): 𝑥𝑥𝑖𝑖 ≥ 0, ∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖 = 1} 𝑖𝑖=1 𝑉𝑉: 𝑥𝑥𝑘𝑘′ = ∑𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑗𝑗 ȋͳȌ ko‘rinishidagi kvadratik akslantirish aniqlangan, bu yerda 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑘𝑘 ≥ 0, ∑𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑘𝑘 = 1, 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑘𝑘 = 𝑃𝑃𝑗𝑗𝑗𝑗,𝑘𝑘 ȋʹȌ Ushbu shartlar simpleksning saqlanishini ta’minlaydi. Ǥ ko‘payishining birlashmasiga nisbatan yopiq aniqlanadi. Populyatsiyanin Ǧ Ǧust tushmaydi, turli avlod vakillari o‘rtasida chatishish bo‘lmaydi deb faraz Ǥ Faraz qilamiz, populyatsiyadagi 1,2,...,m har bir individ m turning ba’zi (yagona) qismiga tegishli bo‘ladi. Tur (belgi) shkalasi shunday bo‘lishi kerakki, i,j otaǦ ǤȋȌ𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑘𝑘 Ǥ turlar jinsga bog‘liq bo‘lmasa, jumladan, 𝑃𝑃𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑘𝑘 = 𝑃𝑃𝑗𝑗𝑗𝑗,𝑘𝑘 bo‘lsa, u holda (2) shǤ ǡ ȋ ǡ

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 e’tiborsiz qoldirish mumkin). U holda uning holatini 𝑥𝑥 = (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 , … , 𝑥𝑥𝑚𝑚 ) to‘plami bilan tasvirlash mumkin. Panmiksiya yoki ta Ǧ𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑗𝑗 ehtimollik bilan x holatda hosil bo‘ladi. Ya’ni, 𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑘𝑘′ = ∑ 𝑝𝑝𝑖𝑖𝑖𝑖,𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑥𝑥𝑗𝑗 𝑖𝑖𝑖𝑖=1 bo‘ladi. (3) Agar biror avlodda populyatsiya x holatda bo‘lsa, u holda bu tur keyingi avlodda 𝑥𝑥 ′ = 𝑉𝑉𝑉𝑉 holatda bo‘ladi. Asosiy vazifalardan biri 𝑥𝑥 0 , 𝑉𝑉𝑥𝑥 0 , 𝑉𝑉 2 𝑥𝑥 0 , … angan harakatlarini, ya’ni V akslantirish iteratsiyasini o‘rganishdan iborat ekanligi aniq. Agar trayektoriya yaqinlashsa, u holda qo‘zg‘almas nuqta 𝑥𝑥 = 𝑉𝑉𝑉𝑉 bo‘ladi, ya’ni muvozanat holati. Hech bo‘lmaganda bitta qo‘zg‘almas nuqta mavjudligi Brauzr Ǥ ̅̅̅, 𝑥𝑥𝑝𝑝 chekli limit nuqtalar to‘plamiga ega, ̅̅̅, 𝑥𝑥1 𝑥𝑥 2 … , ̅̅̅ ya’ni mos ravishda ̅̅̅, 𝑥𝑥1 𝑥𝑥 ̅̅̅, 𝑥𝑥𝑝𝑝 2 … , ̅̅̅Ǥȋ͵Ȍ sikl bo‘lishi kerak, ya’ni (raqamlashgacha): 𝑥𝑥𝑠𝑠+1 𝑉𝑉𝑥𝑥̅𝑠𝑠 = ̅̅̅̅̅̅ ( 𝑠𝑠 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑝𝑝, 𝑥𝑥𝑝𝑝+1 = ̅̅̅) ̅̅̅̅̅̅ 𝑥𝑥1 Ammo, bundan tashqari, limit nuqtalar to‘plami cheksiz bo‘lishi mumkinligini ko‘ramiz. ͳͻͷͻǦ ǡ ǦAlamoss electron moshinasida ikki o‘lchovli ͻ o‘tkazdi. Ular turli xil holatlarda topilgan [7]. Xususan, ular 𝑥𝑥1 ′ = 𝑥𝑥12 + 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑉𝑉0 : = { 𝑥𝑥2′ = 𝑥𝑥22 + 2𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 ȋͶȌ 𝑥𝑥3′ = 𝑥𝑥32 + 2𝑥𝑥1 𝑥𝑥3 misolni ko‘rib chiqishdi va trayektoriya holati spiral shaklda ekanligini qayd etishdi. 𝑉𝑉𝜀𝜀 (0 < 𝜀𝜀 ≤ 1)oilada ko‘rdi: 𝑥𝑥1 ′ = 𝑥𝑥12 + (1 + 𝜀𝜀)𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 + (1 − 𝜀𝜀)𝑥𝑥1 𝑥𝑥3 { 𝑥𝑥2′ = 𝑥𝑥22 + (1 + 𝜀𝜀)𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 + (1 − 𝜀𝜀)𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 ȋͷȌ 𝑥𝑥3′ = 𝑥𝑥32 + (1 + 𝜀𝜀)𝑥𝑥1 𝑥𝑥3 + (1 − 𝜀𝜀)𝑥𝑥2 𝑥𝑥3 ȏͶȐǤͻͷͻ to‘la natijalarga erishdi. Ko‘rish osonki, 𝑉𝑉𝜀𝜀 akslantirish 4 ta qo‘zg‘almas nuqtaga ega: 1 1 1 𝐶𝐶 (3 , 3 , 3) , 𝑀𝑀1 (1,0,0), 𝑀𝑀2 (0,1,0), 𝑀𝑀3 (0,0,1), ya’ni simpleks markazi va uchlari. Oddiy hisobǦ ̅̅̅̅)Ǥ kitoblar shuni ko‘rsatdiki, C itaruvchi fokus, 𝑀𝑀𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,3 ǤͳǦrasmdagi ko‘rinishga ega bo‘ladi. 151

Volume 1, Issue 2 June 2024 Management and Future Technologies journal.umft.uz 152 1 – rasm. Ǥ Vallander simpleksning ichida yotgan C qo‘zg‘almas nuqtadan farqli bo‘lgan boshlang‘ich nuqtada trayektoriya chegaralar to‘plami simpleks chegarasida yotishini va cheksiz bo‘lishini isbotladi (Kesten bu tasdiqni boshlang‘ich nuqtasi C ga yaqin bo‘lmasligi sharti bilan isbotladi). Vallandernng maqolasida ko‘rsatilgan, bu chegara simpleksning butun chegarasiga to‘g‘ri kelish yoki kelmasligi noma’lum, ammo barcha holatda uchlar to‘plamining ixtiyoriy atrofi Ǥȏͳ͵Ȑǣ Ǥ 1 𝑛𝑛 (𝑉𝑉 + 𝑉𝑉 2 + ⋯ + 𝑉𝑉 𝑛𝑛 )o‘rta arifmetik qiymat mavjud. ͳͻͺǦ Ǥ Ǥ ȋͶȌ ȏȐǤ 𝑥𝑥 (0) ∈ 𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑆𝑆 2 , 𝑥𝑥 (0) ≠ 𝐶𝐶 𝑛𝑛−1 Ǧketlik mavjud bo‘lmaydi. 1 ∑ 𝑉𝑉 𝑘𝑘 (𝑥𝑥 (0) ) 𝑛𝑛 𝑘𝑘 ͳͻͺʹǦyilda A.T.Sarimsaqov va R.N.G‘anixodjayev [15],[16],[17],[18],[19] ishlarida 𝑆𝑆 2 𝑆𝑆 3 𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑘𝑘′ = 𝑥𝑥𝑘𝑘 (1 + ∑ 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑖𝑖 ) 𝑖𝑖=1 ko‘rinishdagi volterra tipidagi kvadratik stoxastik operatorlar (v.t.k.s.o.) o‘rganildi, bu 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 = −𝑎𝑎𝑖𝑖𝑖𝑖 , |𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 | ≤ 1. Ta’kidlab o‘tamiz 𝑎𝑎𝑘𝑘𝑘𝑘 = ±1, 𝑥𝑥 ∈ 𝑆𝑆 2 ȋͶȌǤǤǤǤ ǤǤǤǤǤ Ǧ 𝑆𝑆 2 𝑆𝑆 3 trayektoriya xarakteri o‘rganilgan. Ergodik xossalar o‘rganilmagan. Asosiy qism Ikki o‘lchamli 𝑆𝑆 2 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧): 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑧𝑧 ≥ 0𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1} tipidagi to‘rtinchi darajalioperator quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 𝑥𝑥 ′ = 𝑥𝑥{𝑥𝑥 3 + 4[𝑎𝑎𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + (1 − 𝑏𝑏)𝑦𝑦 3 + 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 𝑧𝑧 + (1 − 𝑐𝑐)𝑧𝑧 3 ] + +6[𝑘𝑘𝑘𝑘𝑦𝑦 2 + (1 − 𝑙𝑙)𝑥𝑥𝑧𝑧 2 ] + 12[ℎ1 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑠𝑠1 𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 + 𝑔𝑔1 𝑦𝑦𝑧𝑧 2 ]} 𝑦𝑦 ′ = 𝑦𝑦{𝑦𝑦 3 + 4[𝑏𝑏𝑏𝑏𝑦𝑦 2 + (1 − 𝑎𝑎)𝑥𝑥 3 + 𝑒𝑒𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 + (1 − 𝑓𝑓)𝑧𝑧 3 ] + 𝑉𝑉42 +6[(1 − 𝑘𝑘)𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧 2 ] + 12[𝑠𝑠1 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + ℎ2 𝑥𝑥 2 𝑧𝑧 + 𝑔𝑔2 𝑥𝑥𝑧𝑧 2 ]} 𝑧𝑧 ′ = 𝑧𝑧{𝑧𝑧 3 + 4[𝑐𝑐𝑧𝑧 2 𝑥𝑥 + (1 − 𝑑𝑑)𝑥𝑥 3 + 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑧𝑧 2 + (1 − 𝑙𝑙)𝑦𝑦 3 ] + { +6[𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 2 + (1 − 𝑚𝑚)𝑧𝑧𝑦𝑦 2 ] + 12[𝑔𝑔3 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + ℎ3 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + 𝑠𝑠3 𝑦𝑦 2 𝑥𝑥]} 153 Bu operatorni umumiy holatda o‘rganish anchayin qiyin, chunki operatorning parametrlari soni 15 ta bo‘lib, bunday operator dinamikasini o‘rganish murakkab. Shuning parametrlar sonini kamaytirishga harakat qilamiz. Ikki o‘lchamli simpleksning uchchala qirrasi nuqtalari qo‘zg‘almas bo‘lsin. MͳʹαͲ 𝑥𝑥 ′ = 𝑥𝑥{𝑥𝑥 3 + 4𝑎𝑎𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + 4(1 − 𝑏𝑏)𝑦𝑦 3 + 6𝑘𝑘𝑘𝑘𝑦𝑦 2 } 𝑦𝑦 ′ = 𝑦𝑦{𝑦𝑦 3 + 4𝑏𝑏𝑏𝑏𝑦𝑦 2 + 4(1 − 𝑎𝑎)𝑥𝑥 3 + +6(1 − 𝑘𝑘)𝑥𝑥 2 𝑦𝑦} 𝑥𝑥 ′ = 𝑥𝑥[𝑥𝑥 + 𝑦𝑦]3 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 ′ = 𝑦𝑦[𝑦𝑦 + 𝑥𝑥]3 = 𝑦𝑦 ǢͶα͵ǡͶȋͳǦȌαͳǡα͵ǡͶα͵ǡͶȋͳǦȌαͳǡȋͳǦȌα͵ Ǥ 3 1 = 𝑎𝑎 = 4ǡ𝑘𝑘 = 2bo‘ladi. ͳ͵da y = 0 bo‘lganda; 𝑥𝑥 ′ = 𝑥𝑥{𝑥𝑥 3 + 4𝑑𝑑𝑥𝑥 2 𝑧𝑧 + 6(1 − 𝑙𝑙)𝑥𝑥𝑧𝑧 2 + 4(1 − 𝑐𝑐)𝑧𝑧 3 } 𝑧𝑧 ′ = 𝑧𝑧{𝑧𝑧 3 + 4𝑐𝑐𝑧𝑧 2 𝑥𝑥 + 6𝑙𝑙𝑙𝑙𝑥𝑥 2 + 4(1 − 𝑑𝑑)𝑥𝑥 3 } 𝑥𝑥 ′ = 𝑥𝑥[𝑥𝑥 + 𝑧𝑧]3 = 𝑥𝑥 𝑧𝑧 ′ = 𝑧𝑧[𝑧𝑧 + 𝑥𝑥]3 = 𝑧𝑧 3 1 Ǣ Ͷα͵ ǡ ȋͳǦȌ α ͵ ǡ ͶȋͳǦ Ȍ α ͳ Ǥ 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐 = 4 ǡ 𝑙𝑙 = 2 bo‘ladi. ʹ͵da x = 0 bo‘lganda; 𝑦𝑦 ′ = 𝑦𝑦{𝑦𝑦 3 + 4𝑒𝑒𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 + 6𝑚𝑚𝑚𝑚𝑧𝑧 2 + 4(1 − 𝑓𝑓)𝑧𝑧 3 } 𝑧𝑧 ′ = 𝑧𝑧{𝑧𝑧 3 + 4𝑓𝑓𝑓𝑓𝑧𝑧 2 + 6(1 − 𝑚𝑚)𝑧𝑧𝑦𝑦 2 + 4(1 − 𝑙𝑙)𝑦𝑦 3 } 𝑦𝑦 ′ = 𝑦𝑦[𝑦𝑦 + 𝑧𝑧]3 = 𝑦𝑦 𝑧𝑧 ′ = 𝑧𝑧[𝑧𝑧 + 𝑦𝑦]3 = 𝑧𝑧 3 1 Ǣ Ͷ α͵ǡ α͵ǡͶȋͳǦȌαͳ Ǥ 𝑒𝑒 = 𝑓𝑓 = 4ǡ 𝑚𝑚 = 2 bo‘ladi. Dastlab, simpleksning barcha qirralari nuqtalari qo‘zg‘almas deb olsak, 9 ta parametr yo‘qoladi va operator ancha soddalashadi. 3 1 ǡ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑐𝑐 = 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 = 𝑓𝑓 = 4 ǡ 𝑘𝑘 = 𝑙𝑙 = 𝑚𝑚 = 2 bo‘lganda operator quyidagi ko‘rinishga keladi :

Volume 1, Issue 2 June 2024 Management and Future Technologies x = x1 + yz(12h1 − 6 )x + (12s2 − 3) y + (12 g 3 − 3)z V : y = y1 + xz(12s1 − 6 ) y + (12h2 − 3)x + (12 g 2 − 3)z z = z1 + xy(12 g − 6 )z + (12h − 3)x + (12s − 3) y 1 3 3 154 journal.umft.uz ȋȌ . ȋ) operator 6 ta parametrga bog‘liq. Dastlab, ikkita parametrga bog‘liq operatorni 1 1 1 1 Ǥ 𝑠𝑠2 = 𝑠𝑠3 = 4 𝑠𝑠1 = 2ǡ 𝑔𝑔2 = 𝑔𝑔3 = 4 𝑔𝑔1 = 2 desak, ikkita parametrga bog‘liq quyidagi operatorga ega bo‘lamiz: x = x1 + (12h1 − 6 )xyz Vh : y = y 1 + (12h2 − 3)x 2 z z = z 1 + 9 − 12(h + h )x 2 y 1 2 ȋȌ Ushbu operator uchun quyidagi teorema o‘rinli: 𝑀𝑀1 𝑀𝑀3 , ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑀𝑀2 𝑀𝑀3 ǡ 7- teorema: Agar boshlang‘ich nuqta ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑀𝑀1 𝑀𝑀2 , ̅̅̅̅̅̅̅̅ u holda bu nuqta qo‘zg‘almas nuqtadir, ya`ni qirradagi har bir nuqta qo‘zg‘almas bo‘ladi. 1 1 1) (ℎ1 , ℎ2 ) ∈ [0, ) × [0, )𝑀𝑀3 (0; 0; 1) Ǥ 2 1 1 4 2) (ℎ1 , ℎ2 ) ∈ [0, 2) × [4 , 1)ǡM1 (1; 0; 0)Ǥ 1 3) (h1 , h2 ) ∈ [2 ; 1] × [0,1]ǡM2 (0; 1; 0Ȍ Ǥ Isboti 1 1 ͳȌ (h1 , h2 ) ∈ [0, 2) × [0, 4)bo‘sa , birinchi va ikkinchi koordinatalari kamayuvchi bo‘lib qoladi, uchinchi koordinata o‘suvchi va birga intiladi, ya’ni traektoriya M3 (0; 0; 1) Ǥ 1 1 ʹȌ (h1 , h2 ) ∈ [0, 2) × [4 , 1) bo‘lsa, faqat birinchi koordinata o‘sadi, qolganlari ǡM1 (1; 0; 0)Ǥ 1 ͵Ȍ (h1 , h2 ) ∈ [2 ; 1] × [0,1] bo‘lsa, faqat ikkinchi koordinata o‘suvchi bo‘ladi, M2 (0; 1; 0ȌǤ

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 Adabiyotlar 1. Yu. Khamraev, A condition of uniqueness of fixed point for cubic operators, Uzbek. Math. Zh. 1 (2005) 79-87. (Russian) 2. Yu. Khamraev, On a Volterra type cubic operators, Uzbek. Math. Zh. 3 (2009) 65-71. (Russian) 3. Yu. Khamraev, On cubic operators of Volterra type, Uzbek. Math. Zh. 2 (2004) 79-84. (Russian) 4. G. H. Hardy Mendelian proportions in a mixed population. – science, 1908, 28, N706, p. 49-50. 5. G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya, Inequalities, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1934. 6. H. Kesten, Quadratic transformations: a model for population qrowth. I. –Adv. Appl. Probab., 1970, 2, N1, p. 1-82. 7. M. I. Zakharevich, On the behaviour of trajectories and the ergodic hypothesis for quadratic mappings of a simplex, Russ. Math. Surv. 33 (6) (1978) 265-266. 8. M. Kh. Saburov, On ergodic theorem for quadratic stochastic operators, Dokl. Akad. Nauk RUz. (6) (2007), 8-11 (in Russian) 9. N.Ganikhodzhaev, R.Ganikhodzhaev, U. Jamilov, Quadratic stochastic operators and zero-sum game dynamics, Ergod. Th. and Dynam. Sys. 35 (5) (2015) 1443-1473. 10. N.N.Ganikhodzhaev, D.V.Zanin, On necessary condition for the ergodicity of quadratic operators defined on a two-dimensional simplex, Russ. Math. Surv. 59 (3) (2004) 571-572. 11. R. R. Davronov, U. U. Jamilov (Zhamilov), M. Ladra, Conditional cubic stochastic operator, Jour. Diff. Equ. Appl. 21 (12) 1163-1170. 12. R.Ganikhodzhaev, F. Mukhamedov, U. Roziqov, Quadratic stochastic operators and processes: results and open problems, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top. 14 (2) (2011) 279-335. 13. S. M. Ulam, A collection of mathematical problems, Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, no. 8, Interscience Publishers, New York – London, 1960. 14. U. U.Jamilov, K. A. Kurganov, On-non ergodicity of volterra cubik stochastic operator. Докла дыА.Н.РеспубликиУзбекистан. 2017. 3стр.8-11 15. Р. Н. Ганиходжаев, А. Т. Саримсоков, О нерастающих квадратичных стохастических операторов, ДАН УзССР 1988 г. 8. 6-7. 16. Р. Н. Ганиходжаев, А. Т. Саримсоков, Об одном обобщении примера Улама. ДАН УзССР 1989 г. 3. 5-7. 17. Р. Н. Ганиходжаев, А. Т. Саримсоков, Об одном простом критерии регулярности квадратичных стохастических операторов. ДАН УзССР 1988 г. 11. 5-8. 18. Р. Н. Ганиходжаев, Квадратичные стохастические операторы, функции Ляпунова и турниры. Математический сборник, 1992, т. 183, 8. 129-141. 19. Р. Н. Ганиходжаев, Об одном семействе квадратичных стохастических операторов, действующих в . ДАН УзССР 1989 г. 3-5. 20. Курганов К.А., Пардабоев С. Б Динамика семейства стохаетических операторов вольтерровского типа четверти степени. Теоретические основы и прикладные задачи современной математики I. Андижан,28 марта,2022 стр- 433. 155

Management and Future Technologies journal.umft.uz