Management and Future Technologies | Volume 1, Issue 2 | № 002

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 следующую функцию скорости потенциала: 121 = −kh + С или + kh = С Если жидкость несжимаема,то: ( = const ) и поэтому уравнение неразрывности имеет следующий вид: divV = 0 Введем функцию тока, ( x, y ) удовлетворяющую уравнению неразрывности: u= ,v = − . ȋ͵Ȍ y x h = = −k , x y x ȋͶȌ h v= =k . =− y x y u= Учитывая равенства (2) и (3), получаем следующую зависимость между введенными нами к рассмотрению функциями ( х, у ) и = ( х, у ) ǣ h = −k , y x ȋͷȌ h =k . y x Если коэффициент проницаемости к постоянен, то функция ( х, у ) = ( х, у ) и h( x, y ) будут гармоническими в области течения, а при переменном к(х,у) в силу равенства: V = [ gradk, gradh] Получаем, что вдоль линии постоянного напора коэффициент проницаемости должен быть постоянным, т.е. gradk = gradh, отсюда получаем равенство [ gradk , gradh] = 0. Решение задачи строим известным методом Жуковского [2]. Для этого введем в рассмотрение каноническую область G 0 , (верхнюю полуплоскость, где = + i и = 0 ), действительная ось которой совпадает с границей области течения ȋαΪ), а также функцию Жуковского ( ) = ln V0 = + i ( , ), V , где

Volume 1, Issue 2 122 June 2024 Management and Future Technologies journal.umft.uz Где V0 − скорость фильтрации в некоторой точке свободной поверхности Ǣ V = u − iv − сопряженная комплексная скорость, = ln V , ( , ) − угол наклона 0 V вектора скорости V к горизонту, т.е. к оси Ох. Для введенной функции ( ) будем иметь следующие граничные условия ȋȏͳȐǡȏʹȐǡȏ͵ȐȌǣ вдоль КА при = 0, [−,−a], lm = 0, вдоль при = 0, [−a,0], Re = i ( ), вдоль ВС при = 0, [0, c], lm = − , вдоль Спри = 0, [c,1], lm = − , вдоль при = 0, [1, e], Im = − 2 , вдоль при = 0, [e, ], lm = 0. Введяфункцию 1 ( ) = ( ) и пользуясьинтегральной формулой Шварца ȋͶȌǡ +a получим аналитическое вқражение для функции ЖуковскогоȏͷǡȐǣ +a a 1 (t )dt ( ) = − ( x − ) I 2 ( ) − I 3 ( ) ȋȌ t t + a (t − ) −a a I 2 ( ) = 0 dt 1 I 3 ( ) = c dt t a + t (t − ) a I1 ( ) = −a , t a + t (t − ) 1 (t )dt t , t + a (t − ) Для определения неизвестной функции 1 (t ), используя условие постоянства

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 давления вдоль свободной поверхности , будем иметь равенство (при отсутствии инфильтрации и испарения) (1). k 1 = ln sin ( ) ȋȌ V0 Учитывая равенство (6) и (7), а также теорему СохоцкогоǦПлемеля (5), получим следующее сингулярное уравнение вдоль свободной поверхности ǣ Где k ln sin (t ) dt +a V0 + ( ) ȋͺȌ 0 t t + a (t − ) −a a ( ) = 0 ( ) = lm( − x) I 2 ( ) − I 3 ( ) Решение нелинейного сингулярного интегрального уравнения осуществляется методом последовательных приближений, где за нулевое приближение принимается случай отсутствия силы тяжести и сил поверхностного натяжения (0) = 0 ( ) : ( S ) ( ) = k ln sin ( S −1) (t ) dt +a V0 + ( ) ȋͻȌ 0 t t + a (t − ) −a 0 Приведем решение задачи в линейной постановке, где предполагается, что модуль скорости фильтрации на отрезке [ǡͲȐпри = 0 линейно зависит от : Тогда V = V1 ( a + ) = V0 (1 + / a ) ȋͳͲȌ 1 ( ) = ln(1 + ) a идля функции Жуковского в области G 0 имеет вид Где ( ) = ln[ ( )] ȋͳͳȌ ( ) = [ F ( −a, )] −2 [ F (c, )] −2 [ F (1, !]2 a−1[ F (e, )] −1 , ȋͳʹȌ F ( − a, ) = F (1, ) = F ( c, ) = +a , + +a a −1 a +1 + + a a −c , a+c + c +a , 123

Volume 1, Issue 2 June 2024 124 Management and Future Technologies a −e F (e, ) = a+e + e +a journal.umft.uz , Отсюда находим вқражение для сопряженной комплексной скорости в области G 0 V = V0 [ F (−a, )]−2 [ F (c, )]−2 [ F (1, )]1−2a [F (e, )].ȋͳ͵Ȍ Теперь приступим кпостроению функциикомплексного потенциала w = + i в области G 0 Ǥ Вдоль ВС,при = 0, [0,1], Im Вдоль КА, АВ, ǡи ЕК при = 0, [0,1], Im dw = ; d dw = 0. d Учитывая эти краевые условия и интегральную формулу Шварца, получим интегральную равенству: 1 dw( ) 1 1 dt = ȋͳͶȌ d 0 t − Отсюда при условии вдоль проницаемқх границ ВС и С ǡ = 0, [0,1] получим равенствоǣ Тогда для неизвестной интегральное уравнение: 1 1 1 dt ( ,0) = ȋͳͷȌ 0 t − функции получим 1 следующее сингулярное = tg 1 dt ȋͳȌ 0 t − Решением уравнения (1) получим функцию a Q sin ȋͳȌ = 1 − Далее из равенств (15) и (16) определяем функции w( ) и ǣ a = ȋͳͷȌǣ Q cos ȋͳͺȌ 1− Функция комплексного потенциала определится интегрированием из формулы

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 a Q t dt w( ) = ȋͳͻȌ t −1 t Используя выражения для комплексной скорости (13) и комплексного потенциала, получим выражение для функции, отображающей область течения G я наобласть G 0 ǣ z ( ) = Где a c Q 1 t dt + z B ȋʹͲȌ V 0 (t ) t − 1 t zB = b + B−b B−b tg +i 2 2 Таким образом, решение задачи определяется выражениями (13), (20), полученными в параметрической форме: V = u − iv = ( )V0 ȋʹͳȌ 1 t dt Q ( ) z z = + H V0 0 (t ) t − 1 t V Ǧскорость частиц жидкости, z ( ) Ǧхарактерная функция движущейся жидкости. Гидравлические параметры движущейся воды по борозде С учетом граничных условий и условий для скорости фильтрации можнополучить следующие аналитические выражения для определения неизвестных параметров отображения а, с, е и гидравлических параметров (параметр f определяется из условия на точке перегиба): Длина наклонной части борозды: c Q 1 t dt lBC = , V0 0 (t ) 1 − t t ȋʹʹȌ Глубина фильтруемой воды под борозды: e Q 1 t dt Hk = , V0 1 (t ) t − 1 t Ширина дна борозды, 1 1 t dt Q b= . ȋʹ͵Ȍ V0 c (t ) 1 − t t 125

Volume 1, Issue 2 126 June 2024 Management and Future Technologies journal.umft.uz Глубина потока воды в борозде (рис.1.) определяется равенства выше приведенный формулы (21), т.е. h = H = l ВС sin Расход воды в борозде определяется из условий: Q = V S = V0 ( ) 4b + 2l ВС cos h 2 Изменение расхода воды в борозде определяется из условий d d d 4b + 2lВС cos Q = (V S ) = (V0 ( ) h) dt dt dt 2 Если точке перегиба линии депрессии находится в точке = 0, = f , то должно выполняться условие x y − y x = 0 т.е x y = const как известно отсюдаможем написать условию x = cy Ǥ Расход воды в борозде, протекающие через проницаемые поверхности ВС определяется формулой: Q1 1 c t dt = ǡȋʹͶȌ Q 0 1 − t t Расход воды в борозде через проницаемые поверхности С, определяется формулой: Q2 1 c t dt = Ǥ Q 1 1 − t t Величина испарения с водной поверхности определяется из формулы: Ei = Q − Q1 + Q2 Q Таким образом, получим зависимость расходов Q1 и Q2 от параметров области течения b, B, hE , и Ǥ

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 Литература 1. П.Я. Полубаринова – Кочина, Теория движения грунтовых вод, Москва, Наука, 1977, 664 с. 2. В. Ведерников, Теория фильтрации и ее применение в области ирригации и дренажа, Москва, 1939, 248 с. 3. А.А.Хамидов, С.И.Худайкулов. Теория струй многофазной вязкой жидкости. Ташкент «Фан» 2005г.120 стр. 4. Woumeni R. S., Vauclin Michel. A field study of the coupled effects of aquifer stratification, fluid density, and groundwater fluctuations on dispersivity assessments // Advances in Water Resources, 2006, 29 (7). – Р. 1037-1055. 5. Rehman Kh.Ur., Khan A.A., Malik M.Y., Usman Ali. Mutual effects of stratification and mixed convection on Williamson fluid flow under stagnation region towards an inclined cylindrical surface // MethodsX, 2017. Vol. 4. – Р. 429–444. 6. Ravshanov N., Kurbonov N., Mukhamadiev A. An Approximate Analytical Solution of the Problem of Fluid Filtration in the Multilayer Porous Medium // International Journal of Computational Methods. - 2016. — Vol. 13, № 6. — 1650042 [10 pages] DOI: http://dx.doi. org/10.1142/S0219876216500420. 7. Khujaev I.Q., Mamadaliev X.A., Boltibaev Sh.K. Modelling the Propagation of mass consumption waves in the Pipeline with Damper of pressure Disturbances // Florence (Italy), International Journal of Sciences and Research. Vol. 74 | No. 8/1 | Aug 2018. DOI: 10/21506/j. ponte 2018.8.12. – PP. 163-170. 8. 127

Volume 1, Issue 2 June 2024 128 Mualliflar Yakub Axmedov Fundamental fanlar kafedrasi, “University of Management and Future Technologies” universiteti, Toshkent, 100208, O‘zbekiston; yakub8788@gmail.com Xasan Karimov Fizika kafedrasi, Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalar universiteti, 100200, Toshkent, O‘zbekiston; karimov@tuit.uz *Mas’ul: yakub8788@gmail.com Management and Future Technologies journal.umft.uz YANGI INNOVATSION YONDOSHUVLAR ORQALI FIZIKA DARSLARINI SAMARALI TASHKIL ETISH A nnotatsiya: Ushbu ishda axborot texnologiyalar sohasida kadrlar uchun fizika fanini o‘qitishda muhum bo‘lganzamanoviy dasturiy vositalar, xususan “FASTMEAN” dasturidan foydalanishning afzalliklari va yutuqlari haqida so‘z yuritilgan. Ta’lim jarayonlarida zamonaviy axborot texnologiyalardan foydalangan holda darslarni tashkillashtirishdagi maxsus dasturiy vositalarni, fizik va matematik jarayonlarni kompyuterda modellashtirishni, real fizik jarayonning immitatsion kompyuter modelini yaratishnng asoslarini tushintirib berilgan. Modellashtirishning o‘ziga xos muhim tomonlari, turli xil fizik qurilma va asboblar modellashtirish shartlari, hodisalarni jonli va tabiiy ko‘rinishda tasvirlanishi, kuzatish qiyin bo‘lgan jarayonlarni ham namoyish eta olish imkoniyatiga egaligidir. Kalit so‘zlar: Axborot - kommunikatsion texnologiyalarini, fastmean, ta’lim jarayoni, pedagogik dasturiy vosita, fizik jarayonlar, modellashtirish. Copyright: © 2024 by the authors. Ushbu maqola Creative Commons Attribution (CC BY) litsenziyasi shartlari asosida tarqatiladigan ochiq foydalanish maqolasi hisoblanadi (https://creativecommons.org/ licenses/by/4.0/).

Management and Future Technologies journal.umft.uz EFFECTIVE ORGANIZATION OF PHYSICS LESSONS USING NEW INNOVATIVE APPROACHES A bstract: This paper discusses the advantages and achievements of using modern software, in particular the FASTMEAN program, which are important when teaching physics to personnel in the field of information technology. The educational process outlines special software for organizing classes using modern information technologies, computer modeling of physical and mathematical processes, and the basics of creating a simulation computer model of a real physical process. The unique and important aspects of simulation are various physical devices and tools for simulating conditions, vivid and natural depiction of events, and the ability to demonstrate processes that are difficult to observe. June 2024 Volume 1, Issue 2 129 Authors Yakub Akhmedov Department of Fundamental Sciences, “University of Management and Future Technologies”, Tashkent, 100208, Uzbekistan; yakub8788@ gmail.com Xasan Karimov Department of Physics, Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khwarazmi, 100200, Tashkent, Uzbekistan; karimovx@ gmail.com *Correspondence: yakub8788@ gmail.com Key words: Information and communication technologies, fastmean, educational process, pedagogical software, physical processes, modeling. Copyright: © 2024 by the authors. This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution (CC BY) license (https:// creativecommons.org/licenses/ by/4.0/).

Volume 1, Issue 2 June 2024 Management and Future Technologies 130 ʼ ʼ ʼ ʼ journal.umft.uz

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 131 ʼ ʼ ʼ

Volume 1, Issue 2 June 2024 Management and Future Technologies journal.umft.uz 132 ʼ ʼ ʼ

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 133 ʼ ʼ ʼ

Volume 1, Issue 2 134 June 2024 Management and Future Technologies journal.umft.uz Adabiyotlar 1. X.N.Karimov //Fizika fanini o‘qitishda virtual laboratoriya ishidan foydalanish// Engineering problems and innovations. 2023. –P. 102-104 (https://fer-teach.uz/index.php/epai/article/ view/130) 2. Э.З. Имамов Х.Н.Каримов, А.Э.Имамов // Янги Ўзбекистонда кайта тикланувчи энергия манбаларини жорий этиш билан боглик муаммолар //«Science and innovation» international scientific journal. (ISSN: 2181-3337) 2022. № 3. -С. 367-372. URL: https:// cyberleninka.ru/article/n/yangi-zbekistonda-ayta-tiklanuvchi-energiya-manbalarini-zhoriyetish-bilan-bo-li-muammolar/viewer 3. X.N.Karimov, M.M.Asfandiyorov, M.A.Axmadov. //Zamonaviy yondashuvlar asosida fizika o‘qitishni rivojlantirish// Engineering problems and innovations. 2023. –P. 113-115 (https:// scholar.google.com/citations?view_op=view_citation&hl=ru&user=i5SoNTcAAAAJ&citation_ for_view=i5SoNTcAAAAJ:M3ejUd6NZC8C) 4. X.N.Karimov, A.E.Imamov, E.Z.Imamov, //Development of creative thinking in higher education// Science and innovation» international scientific journal. (ISSN: 2181-3337) 2023. № 3. -С. 359-361 5. Х.Ш.Асадова, Ю.Н.Каримов // Янги замоновий технологиялар асосида ўкув жараёнини самарали ташкил этиш //«Science and innovation» international scientific journal. Volume 1 Issue 7. 2022. -С. 230-233 (https://cyberleninka.ru/article/n/yangi-zamonoviy-tehnologiyalarasosida-uv-zharayonini-samarali-tashkil-etish) 6. Kh.N.Karimov. // Methods of self-education in teaching students physics using ict-information and computer technologies // International Interdisciplinary Research Journal, 11(2), 471–475. (https://giirj.com/index.php/giirj/article/view/4889) 7. Axmadov M. // Pedagogik dasturiy vositalar yordamida fizika fanini o ‘qitish // Центральноазиатский журнал образования и инноваций. – 2023. – Т. 2. – №. 10. – С. 90-92. 8. ( h t t p s : / / s c h o l a r . g o o g l e . c o m / c i t a t i o n s ? v i e w _ o p = v i e w _ citation&hl=ru&user=Tl5hqLkAAAAJ&citation_for_view=Tl5hqLkAAAAJ:dhpJJ7xvgBgC) 9. Koxxarov M., Sobirzhonova S., Asfandiyorov M. // Isotherm of ammonia adsorption in seolite CaA (M-22) //E Global Congress. – 2023. – T. 12. – S. 67-72. 10. Bakhronov, K., Ergashev, O., Ganiev, A., Asfandiyorov, M., Ahkmadov, M., & Kholikov, K. // (2024, March). Isotherm and basic thermodynamic characteristics of ammonia adsorption in CsZSM-5 zeolite.// In AIP Conference Proceedings (Vol. 3045, No. 1). AIP Publishing. 11. Бахронов Х., Султонов А., Асфандиёров М. // Дифференциальные теплоты адсорбции аммиака на силикалите с катионами Nа+ и Li+//Conferencea. – 2023. – С. 108-110. 12. Бахронов Х., Султонов А., Асфандиёров М. // Энтропия адсорбции аммиака на силикалите с катионами Na+ и Li+ //E Global Congress. – 2023. – №. 6. – С. 51-53. 13. Асфандиёров М. М. Ў. Мукобил энергия манбаларидан фойдаланиш истикболлари // Academic research in educational sciences. – 2022. – Т. 3. – №. 1. – С. 322-325.

Management and Future Technologies journal.umft.uz APPLICATION OF GENERATING FUNCTIONS IN PROBABILITY AND COMBINATORICS A bstract: In this paper, we introduce the importance of generating functions in probability and combinatorics. Generating functions and their properties were previously studied by many scientists and are considered to be one of the main tools of modern mathematics. These functions can solve a number of problems. We prove that problems Fibonacci number, problem with weight measurement, number division problem A and number division problem B can be solved using generating functions. During the study of the article, it can be seen that the method we propose is simple and easy to prove compared to the classical solution of the above problems. Keywords: Generating functions; binomial coefficients; Fibonacci numbers; Bine formula; Euler’s moment; number decomposition; Markov chains; stochastic branching processes; Q-processes. June 2024 Volume 1, Issue 2 135 Authors Munisa Ismoilova Department of Fundamental Sciences, “University of Management and Future Technologies”, Tashkent, 100208, Uzbekistan; orifjonovna.m9397@gmail.com Shakhlo Khabibullaeva Department of Fundamental Sciences, “University of Management and Future Technologies”, Tashkent, 100208, Uzbekistan; xshahlo@mail.rugmail.com Zuhriddin Nazarov V.I.Romanovskiy Institute of Mathematics; zuhrov13@gmail.com *Correspondence: zuhrov13@gmail. com Copyright: © 2024 by the authors. This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution (CC BY) license (https:// creativecommons.org/licenses/ by/4.0/).

Volume 1, Issue 2 June 2024 Management and Future Technologies journal.umft.uz Introduction 136 ǡ ǡ Ǥ ǡ Ǥ ǡ ǡǢȏͳǦͶȐǤ ǡ Ǥ ǡǤ ǡ Ǥͳͺ ǢȏͷȐǤ ǡ ǡ ǡ Ǥ Ǥ ǡ Ǥ ǡ ǡ R(n ) n ȋ n Ȍ Ǥ ǡ Ǥ Matherials and Methods Ǥ ǡ Ǧ Ǥ Ǧ Ǥ Ǧ Ǧ ǢȏǦͻȐǤ Z (0) Figure 1. Ǥ 1 Ǥ Z (n ) n Z (n ) Z (n 1) i 1 (i ) , n 1 0, if if Z (n ) Z (n ) 0, 0, ǡ ȋͳȌ

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 (i ) n 1 i Ǥ ǡͳǡ Z (1) (1) 1 (1) 2 3 Z (2) (2) 2 (3) 2 2 Volume 1, Issue 2 n 1 3 6 Ǥ Definition. (Generating functions) f (s ) : k 0 f0 (s) s, f1(s) pks k , f (s), | s | 1, ȋʹȌ f fn (s) , ȋ͵Ȍ fn 1(s) s Ǥ Ǥ Ǧ Ǥ ǣ 1. Ǣ 2. Ǣ 3. Ǣ 4. Ǥ Main Results ǡ n ǡ Ǥ ȏͳͲȐǤ ǣ u0 0, u1 1, un un 2 2 ǤȋͶȌ un 1, n Ǥ Theorem 1. (Fibonacci number) un Ǥ 1 un 5 1 5 n 1 2 5 2 n ǤȋͷȌ Theorem 2. (Problem with weight measurement)ͳǡʹǡͶǡͺǡǤǤǤǤ ǡ Ǥ Theorem 3. (Number division problem A) x1 0 : {0} ǡ x2 ... xm k, x i 0 , m , k 0 ǡȋȌ 1,2, 3,... Ǥǡ m k ǡ Ǧ 137

Volume 1, Issue 2 June 2024 Management and Future Technologies 138 C mk journal.umft.uz (m k 1)! ǤȋȌ k !(m 1)! C mk k 1 Theorem 4. (Number division problem B) x1 x2 xm ... k, x i , m ǡȋͺȌ , k ǡ m k ǡ C km 11 (k 1)! ǤȋͻȌ m)!(m 1)! (k Proof of Theorems Proof of Theorem 1. ǡ x u(x ) x2 x 1 ǡ Ǥǡ 1 x1 x1 1 x2 1 5 2 x2 x 1 ǡ x 2 ǣ x ( x ǡ x x2 (x ) ( x u(x ) ) (1 1 x x2 x A ǡ A 1 1 5 5 2 1 ) (x )(x ( x 1)( x 1) (1 A x) 1 A B (1 (A x )(1 B (A A A 1 x1 )(x x x )(1 x 0 ǣ B B 0, B Ǥ 1 Ǥ ) x )(1 B 1 x x B )x ǡ x) ǡ B )x ǡ 1. 1 1 5 Ǥ x) .

Management and Future Technologies journal.umft.uz June 2024 Volume 1, Issue 2 ȏͳͳȐǡǣ u(x ) x 1 x x 2 1 5 n 0 1/ 5 1 x 1/ 5 1 x ( x )n 1 1 1 n 1 1 ( n n )x n 2 u(x ) un x n ǡ n 0 x n 5 2 5 n 0 5 x 5n 0 n 0 1 5 1 1 ( x )n 1 xn. ȋ ȏͳʹȐȌ u0 0 u1 1 ǤͳǤ Proof of Theorem 2. ǡǡ ǡ Ǥ A(z ) z 2n ) (1 z 2 )(1 z )(1 (1 n 0 z 4 )... ǡ ǡ z ǣ A(z ) a1z 1 a2z 2 a3z 3 ǣ ai , i ... ǤȋͳͲȌ ǫ an z n ǡ m z 2 ǡ Ǥ ǡ an n Ǥ ǡ ǡ an Ǥ Ǥ (1 z )(1 z) 1 (1 z 2 )(1 z2) 1 (1 z 4 )(1 z 4) 1 z 2 ǡ z 4 Ǥ z8 (1 z )(1 z )(1 z 2 )(1 z 4 )(1 z 8 )... 1 139

Volume 1, Issue 2 140 June 2024 Management and Future Technologies journal.umft.uz (1 z )A(z ) 1 Ǥ ǡ ǡǣ A(z ) 1 z 1 z 1 z2 z3 ... ǤȋͳͳȌ ȋͳͲȌȋͳͳȌǡ an 1 n ǡǡ 1,2,22,...,2n ,... ǤʹǤ Proof of Theorem 3.ǣ B(z ) z2 z (1 ...)m ǤȋͳʹȌ z3 ǡ ǣ B(z ) bi , i 1 b1z b2z 2 b3z 3 ... ǡ z n ǡ ȋͳʹȌǤǡ bk ǦȋȌǤ ǡ bk Ǥ ǡ B(z ) (1 z) m b1z 1 b2z 2 b3z 3 ... ȋͳ͵Ȍ ǡ Ǥ z 0 ǡ b1 m ǤǡǤǤ k Ǧ ȋͳ͵Ȍ z 0 ǡ bk m(m 1)(m 2) ... (m k! ͵Ǥ k 1) Ǥ Proof of Theorem 4.͵Ǥ Conclusion ǡ Ǥ Ǧǡǡ ȋ̵ȌǤǡ Ǥ