Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot (SIRI 2025)

Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot SIRI-2025 Genetik algoritmlar: Genetik algoritmlar evolyutsion jarayonga asoslangan bo‘lib, tabiiy tanlanish tamoyiliga ko‘ra optimal echimni topadi. Bu usul quyidagi bosqichlardan iborat: 2-rasm. Genetik algoritmlar bosqichlari. Ushbu usul murakkab kombinatorik muammolarni samarali hal etishda ishlatiladi [2]. Neyron tarmoqlar: Neyron tarmoqlar noaniqlik va murakkablikka ega bo‘lgan optimizatsiya muammolarini hal qilishda qo‘llaniladi. Masalan, konvolyutsion neyron tarmoqlar (CNN) va uzun-qisqa xotira (LSTM) tarmoqlari katta hajmdagi ma’lumotlar asosida optimal strategiyalarni ishlab chiqishga yordam beradi. Mustahkamlangan o‘rganish: Mustahkamlangan o‘rganish (Reinforcement Learning, RL) agentning atrof-muhit bilan o‘zaro ta’siri orqali optimal strategiyani o‘rganishini anglatadi. RL real hayotdagi resurslarni taqsimlash va qiyin optimizatsiya muammolarini hal qilishda keng qo‘llanilmoqda [3]. Differensial evolyutsiya: Bu usul genetik algoritmlarga o‘xshash bo‘lib, u erkin parametrlarning eng yaxshi kombinatsiyasini topish uchun ishlatiladi. Ushbu usul muhandislik, energetika va avtomatlashtirilgan tizimlarni optimallashtirishda keng qo‘llaniladi. Sun’iy intellekt yordamida kombinatorik muammolarni yechish: Kombinatorik muammolarni hal qilish uchun quyidagi SI asosidagi yondashuvlar qo‘llaniladi: Murakkab tarmoqlarni boshqarish: Internet va telekommunikatsiya tarmoqlarida trafik oqimini boshqarish uchun ishlatiladi. Optimal marshrutlash muammolari: Katta shaharlar yoki logistika kompaniyalari uchun optimal yo‘llarni tanlash. Biologik va farmatsevtik tadqiqotlar: Dori vositalarini ishlab chiqishda molekulyar kombinatsiyalarni tahlil qilish. Misol tariqasida, yo‘lovchi tashish optimizatsiyasi muammosi (Travelling Salesman Problem) uchun neyron tarmoqlar va mustahkamlangan o‘rganish metodlari qo‘llanib, shaharlar o‘rtasidagi minimal yo‘lni topish mumkin. Real hayotdagi qo‘llanilishi va istiqbollari: Sun’iy intellekt asosidagi optimizatsiya usullari quyidagi sohalarda keng qo‘llanilmoqda: Sanoat va ishlab chiqarish: Ishlab chiqarish liniyalarini avtomatlashtirish va samaradorlikni oshirish. Moliya: Bozor tendensiyalarini bashorat qilish va investitsiyalarni optimallashtirish. Tibbiyot: Tashxis qo‘yish va muolaja rejalarini optimallashtirish. Energetika: Elektr energiyasini taqsimlash va iste’molni optimallashtirish. 821

SIRI-2025 Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot Kelajakda SI asosidagi algoritmlar yanada takomillashib, real vaqt rejimida murakkab muammolarni hal qilish imkoniyatini oshiradi. Sun’iy intellekt asosidagi optimizatsiya usullari murakkab va katta o‘lchamli muammolarni samarali hal qilish imkoniyatini beradi. Genetik algoritmlar, neyron tarmoqlar va mustahkamlangan o‘rganish metodlari kombinatorik va optimizatsiya muammolarida qo‘llanilib, turli sohalarda katta natijalarga erishilmoqda. Kelajakda bu yondashuvlarning yanada rivojlanishi sanoat, logistika, tibbiyot va boshqa ko‘plab yo‘nalishlarda innovatsion echimlarni taqdim etishi kutilmoqda [4]. Sun’iy intellektning qo‘llanilishi: Sun’iy intellekt (SI) algoritmlari murakkab muammolarni hal qilishda samarali vosita bo‘lib, quyidagi sohalarda keng qo‘llaniladi: Sanoat: Ishlab chiqarish jarayonlarini optimallashtirish, resurslarni samarali taqsimlash. Logistika: Tovarlarni yetkazib berish marshrutlarini optimallashtirish, omborlarni boshqarish. Moliya: Investitsiya portfellarini boshqarish, kredit xavfini baholash. Transport: boshqarish. Yo‘lovchi tashish yo‘nalishlarini optimallashtirish, trafik oqimini Biologiya: Genom tahlili, dori vositalarini ishlab chiqish jarayonlarini tezlashtirish. SI algoritmlarining afzalliklari: An’anaviy usullarga nisbatan SI algoritmlarining quyidagi afzalliklari mavjud: Moslashuvchanlik: Turli xil muammolar va ma’lumotlar to‘plamlariga moslashish qobiliyati. Samaradorlik: Katta hajmdagi ma’lumotlarni qayta ishlash va tahlil qilish imkoniyati. o‘z-o‘zini o‘rganish: Tajribalar asosida natijalarni yaxshilash qobiliyati. O‘zbekiston tajribasi. O‘zbekistonda sun’iy intellekt va matematik modellashtirish sohasida ilmiy tadqiqotlar olib borilmoqda. Masalan, Andijon davlat universitetida 2022 yil 28 mart kuni “Zamonaviy matematikaning nazariy asoslari va amaliy masalalari” mavzusida Respublika ilmiy-amaliy anjumani o‘tkazildi. Ushbu anjumanda sun’iy intellekt va optimizatsiya masalalari bo‘yicha ma’ruzalar taqdim etildi [5]. Kelajak istiqbollari. Sun’iy intellekt asosidagi optimizatsiya usullari yanada rivojlanib, quyidagi yo‘nalishlarda yangi imkoniyatlar ochishi kutilmoqda: Avtomatlashtirilgan qaror qabul qilish tizimlari: Real vaqt rejimida murakkab muammolarni hal qilish. Kiberxavfsizlik: Tarmoq hujumlarini aniqlash va oldini olishda SI algoritmlaridan foydalanish. Atrof-muhitni muhofaza qilish: Ekologik monitoring va resurslarni barqaror boshqarishda optimizatsiya usullarini qo‘llash. Sun’iy intellekt yordamida katta o‘lchamli optimizatsiya va kombinatorik muammolarni yechish zamonaviy ilm-fan va texnologiyaning muhim yo‘nalishlaridan biridir. Bu usullar turli sohalarda samaradorlikni oshirish va yangi innovatsion echimlarni taqdim etishda katta ahamiyatga ega. 822

Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot SIRI-2025 Adabiyotlar 1. Axmedov A., Xodjayev S. “Sun’iy intellekt asoslari” – Toshkent: Fan, 2020. 2. Mamatqulov N. “Optimal boshqaruv va matematik modellashtirish” – Toshkent: Innovatsiya nashriyoti, 2019. 3. Islomov U., Rasulov J. “Katta hajmli ma’lumotlar va mashinaviy o‘rganish” – Toshkent: Ilm Ziyo, 2021. 4. Saidov R., Yusupov O. “Algoritmlar va ularning tahlili” – Toshkent: O‘zbekiston Milliy Universiteti nashriyoti, 2018. 5.Xamroyev D. “Zamonaviy raqamli texnologiyalar va ularning amaliy qo‘llanilishi” – Toshkent: Yangi asr avlodi, 2022. 823

SIRI-2025 Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot GAMMA FUNKSIYASI YORDAMIDA KASR SONLAR FAKTORIALINI HISOBLASHNI MODELLASHTIRISH VA DASTURINI YARATISH HAQIDA Quvondiq Begimbetov1*, Sarvar Safarboyev1, Diyorbek Mamasoliyev2, Dilafruz Iskandarova2 1Muhammad Al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti talabalari, begimbetov@tuit.uz, safarboyev@tuit.uz, mamasoliyev@tuit.uz 2Toshkent shahridagi 265-maktabning 11-sinf o`quvchisi, iskandarova@maktab.uz Annotatsiya. Ushbu maqolada gamma funksiyaning kelib chiqishi va uning tatbiqi haqida ma’lumotlar keltirilgan. Gamma funksiyasidan foydalanib kasr sonlar faktorialini hisoblash bo‘yicha formulalar keltirib chiqarilgan. Uning natijalarini hisoblash uchun Python tilida dastur tuzilgan. Oddiy hisob-kitob natijalari va dasturdagi natijalar taqqoslangan. Kalit so‘zlar: Gamma funksiya, Python tili, Eyler, matematik funksiya, statistik tahlil, fizik jarayonlar, moliyaviy xavfni baholash. Kirish Gamma funksiya yirik matematik ob’yektlardan biri hisoblanadi. Gamma funksiyasi paydo bo‘lishi tarixi 18-asrga borib taqaladi. Gamma funksiya Leonard Eyler nomi bilan bog`liq. Chunki Gamma funksiyasining asosiy g‘oyalarini birinchi marta Eyler o‘zining ilmiy izlanishlarida keltirgan. U haqiqiy sonlar uchun faktorialni umumlashtirish zaruratini sezgan va gamma funksiyasini aniqlashga intilgan. Eyler bu funksiya orqali ko‘p o‘lchovli integral, cheksiz ketma-ketlik va analitik davomiylik kabi masalalarni o‘rganishda katta yutuqlarga erishgan. Keyinchalik Eylerning ishlari asosida Legandr gamma funksiyasining asosiy xususiyatlarini shakllantirishga katta hissa qo‘shgan. Shu sababli ba’zi manbalarda gamma funksiyasi Eyler-Legandr funksiyasi deb ham ataladi. Gamma funksiyasi oddiy faktorialning kengaytirilgan shakli bo‘lib, u butun sonlardan tashqari kasr sonlar uchun ham ishlaydi. Gamma funksiyasining statistikada, fizikada, tibbiyotda va moliya sohalarida qo‘llanilishi juda keng. Statistikada gamma funksiyasining tatbiqi asosan ehtimollik taqsimotlari bilan bog‘liq. Ayniqsa, u gamma taqsimoti va Puasson taqsimoti kabi modellarni hisoblashda ishlatiladi. Masalan, shifokor qabulida navbatda turgan har bir bemor o‘rtacha 10 daqiqa ichida qabul qilinadi. Lekin qabul vaqti har doim aniq emas, ba’zida tezroq, ba’zida kamroq vaqt sarflanadi. Bu vaziyatni gamma taqsimoti yordamida modellashtirish mumkin. Gamma funksiyasi aynan shunday noaniq vaqt oraliqlarini hisoblash uchun ishlatiladi, ya’ni o‘rtacha kutish vaqti gamma funksiyasi orqali hisoblanadi. Gamma funksiyasi shunday statistik modellarni tuzishda keng qo`llaniladi. Fizikada gamma funksiyasi energiya tarqalishi, issiqlik o‘tishi va kvant mexanikasi kabi sohalarda ham keng tatbiqqa ega. Masalan, radioaktiv elementlar vaqt o‘tishi bilan parchalanib boradi. Lekin bu parchalanishning aniq vaqti oldindan noma’lum bo‘ladi. Uranning yarmi parchalanishi uchun qancha vaqt ketishini aniqlash ehtimollik taqsimotiga bo‘ysunadi va bunda gamma funksiyasi parchalanish tezligini aniqlash uchun ishlatiladi. 824

Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot SIRI-2025 Banklar va sug‘urta kompaniyalari amaliyotda mijozlarning kredit qaytarish ehtimolini yoki qaytarmaslik xavfini baholashda gamma funksiyasidan foydalanadi. Buning uchun gamma funksiyasiga asoslangan ehtimollik modellaridan foydalaniladi. Bunda mijozlarning oldingi to‘lov tarixiga qarab, kelajakda kredit qaytarish ehtimoli baholanadi. Shunindek, gamma funksiyasi tibbiyotda ham keng qo‘llaniladi. Kasalliklarning davomiyligi, dorining organizmda saqlanishi va odamlarning umr ko‘rish davomiyligini taxmin qilishda ishlatiladi. Masalan, har bir dori organizmga kirgach, u ma’lum vaqt ichida parchalanadi. Lekin har bir odamning organizmi har xil, shuning uchun dorining qancha vaqt samarali bo‘lishi aniq emas. Shifokorlar gamma funksiyasi asosida tuzilgan modellar yordamida dorining o‘rtacha samaradorlik muddatini aniqlashadi. Gamma funksiyani faktorialning qandaydir davomi sifatida qarash mumkin. Bilamizki, musbat sonlar uchun faktorialni juda oddiy usulda hisoblab topiladi. Gamma funksiya faktorialni kasr, manfiy, hatto kompleks qiymatli faktoriallarni hisoblashga mo`ljallangan. Gamma funksiyani elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi, lekin quyidagi integral shaklida yozish mumkin: ∞ Г(𝑎𝑎)=∫0 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑎𝑎−1 𝑑𝑑𝑑𝑑 . ∞ Г(𝑎𝑎)=∫0 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑎𝑎−1 𝑑𝑑𝑑𝑑, gamma funksiyasidan a o‘rniga a+1 ni qo‘yib yuborish orqali ∞ Г(𝑎𝑎 + 1)=∫0 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 ni hosil qilsak bo‘ladi. 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 𝑎𝑎 ; 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 · 𝑥𝑥 𝑎𝑎−1 𝑑𝑑𝑑𝑑 ] 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑; 𝑣𝑣 = −𝑒𝑒 −𝑥𝑥 ∞ ∞ ∞ −𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑎𝑎 −𝑥𝑥 Г(𝑎𝑎 + 1) = ∫0 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (−𝑥𝑥 · 𝑒𝑒 ) │ + ∫0 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 · 𝑎𝑎 · 𝑥𝑥 𝑎𝑎−1 𝑑𝑑𝑑𝑑. 0 𝑎𝑎 −𝑥𝑥 Yuqoridagi integralda 𝑥𝑥 · 𝑒𝑒 ifoda 𝑥𝑥 → ∞ da nolga intiladi, chunki eksponensial funksiya ko`phadga nisbatan tezroq o`sadi. Shuningdek, bu ifoda 𝑥𝑥 = 0 da ham nolga teng bo‘ladi. Shuning uchun bu qo‘shiluvchi butunlay yo‘qoladi. Bundan quyidagi ifodani hosil qilamiz: ∞ Г(𝑎𝑎 + 1)=∫0 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑 = [ ∞ Г(𝑎𝑎 + 1) = 𝑎𝑎 · ∫0 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 · 𝑥𝑥 𝑎𝑎−1 𝑑𝑑𝑑𝑑 Bu ifoda esa gamma funksiyasining o‘zidir. Bundan ko`rinadiki, Г(𝑎𝑎 + 1) = 𝑎𝑎 · Г(𝑎𝑎) kabi ifodalash mumkin. Bundan kelib chiqadiki, Г(𝑎𝑎) = (𝑎𝑎 − 1) · Г(𝑎𝑎 − 1)ga teng. 𝑎𝑎 𝜖𝜖 𝑁𝑁 bo‘lgan holatda ifoda quyidagi holatga keladi: Г(𝑎𝑎) = (𝑎𝑎 − 1) · (𝑎𝑎 − 2) · (𝑎𝑎 − 3) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ Г(1). Endi Г(1) funksiyani hisoblaymiz, bunda 𝑎𝑎 = 1 bo‘lgani uchun: ∞ ∞ ∞ −𝑥𝑥 1−1 −𝑥𝑥 −𝑥𝑥 Г(1) = ∫ 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫ 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑒𝑒 │ = −(𝑒𝑒 −∞ − 𝑒𝑒 −0 ) = 1. 0 0 0 Г(1)=1 bo‘lsa, yuqoridagi Г(𝑎𝑎) = (𝑎𝑎 − 1) · (𝑎𝑎 − 2) · (𝑎𝑎 − 3) ∙ … ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 bo‘lib qoladi. Bu ifodani Г(𝑎𝑎) = (𝑎𝑎 − 1)! ko‘rinishda ifodalash mumkin. Bundan Г(𝑎𝑎 + 1) = 𝑎𝑎! ekanini hosil qilamiz. 825

SIRI-2025 Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot Ma’lumki, 𝑎𝑎! = 𝑎𝑎 ·(𝑎𝑎 − 1)! ga teng. Yuqoridagi Г(𝑎𝑎 + 1) = 𝑎𝑎! va Г(𝑎𝑎 + 1) = 𝑎𝑎 ∙ Г(𝑎𝑎) formulalardan foydalanib, 𝑎𝑎! = 𝑎𝑎 ∙Г(𝑎𝑎), bu yerda 𝑎𝑎 𝜖𝜖 𝑁𝑁 , ekanligini keltirib chiqaramiz. Bu ifodadan manfiy bo‘lmagan butun sonlar faktorialini gamma funksiyasi yordamida hisoblash mumkin bo‘ladi, ya’ni gamma funksiyasi va faktorialni bir-biriga bog‘ladik. Г(𝑎𝑎 + 1)= 𝑎𝑎! formuladan biz 0! ni hisoblasak 0!= Г(1)=1 ga tengligi chiqib keladi. Yuqoridagi formuladan kelib chiqib endi biz gamma funksiyasi yordamida kasr sonlar faktorialini ham hisoblashni ko‘rib chiqamiz. ∞ Г(𝑎𝑎)=∫0 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑎𝑎−1 𝑑𝑑𝑑𝑑 . Agar a ga 1/2 qiymatini bersak, u holda ifodamiz : √𝑥𝑥 = u ; ∞ 2𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∞ −𝑢𝑢2 𝑥𝑥 = 𝑢𝑢2 ; ] = ∫0 𝑒𝑒 𝑢𝑢2 𝑢𝑢 = 2∫0 𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑 . 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 Ma’lumki, butun chiziq bo‘yicha Gauss integrali quyidagicha ifodalanadi. 1 ∞ 𝑑𝑑𝑑𝑑 ∞ Г ( ) =∫0 𝑒𝑒 −𝑥𝑥 𝑥𝑥 2−1 𝑑𝑑𝑑𝑑 =∫0 𝑥𝑥 = [ 2 𝑒𝑒 √𝑥𝑥 1 ∞ 2 ∫−∞ 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 du=√𝜋𝜋. 2 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 juft funksiya bo‘lgani uchun, Gauss integralini quyidagicha ifodalash mumkin: ∞ 2 ∞ 2 ∫−∞ 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2∫0 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑. ∞ 2 Shunday qilib, yuqoridagi tenglama orqali 2∫0 𝑒𝑒 −𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 = √𝜋𝜋 ifodani keltirib 1 chiqaramiz, bundan kelib chiqadiki, Г(2) = √𝜋𝜋 ga teng ekan. Г(𝑎𝑎 + 1) = 𝑎𝑎 · Г(𝑎𝑎) formuladan foydalanib: 3 1 1 5 3 3 3 1 1 Г (2) = 2 · Г (2); Г(2) = 2 · Г (2) = 2 · 2 · Г (2) ; 7 5 5 5 3 3 5 3 1 1 Г (2) = 2 · Г (2) = 2 · 2 · Г (2) = 2 · 2 · 2 · Г (2) . Demak, bu ifodalarni umumiy holatda yozsak quydagi ko‘rinishga keladi: 2𝑛𝑛+1 (2𝑛𝑛−1)!! · Г (2) (𝑛𝑛 𝜖𝜖 𝑁𝑁). 2𝑛𝑛−1 (2𝑛𝑛−1)!! · Г (2) = Г( 2 ) = bo‘ladi: 2𝑛𝑛 1 Г(𝑎𝑎) = (𝑎𝑎 − 1)! ifodadan foydalanib biz yuqoridagi formulani quydagicha ifodalasak ( 2 )! = 2𝑛𝑛 2𝑛𝑛−1 Bundan ( 2 ) ! = 1 (2𝑛𝑛−1)!! 2𝑛𝑛 (2𝑛𝑛−1)!! 2𝑛𝑛 · √𝜋𝜋 ; · √𝜋𝜋 degan ifodaga kelamiz. Bu formula orqali kasr sonlar faktorialini ham hisoblay olamiz. n ning ba’zi qiymatlari uchun kasr sonlar faktorialini hisoblab ko‘ramiz: 1 (1)!! 1 n=1 da (2) ! = 21 ∙ √𝜋𝜋 = 2 ∙ √𝜋𝜋 ≈ 0,887; 3 (3)!! 3∙1 n=2 da (2) ! = 22 ∙ √𝜋𝜋 = 4 ∙ √𝜋𝜋 ≈ 1,33; 5 (5)!! n=3 da (2) ! = 23 ∙ √𝜋𝜋 = 7 (7)!! n=4 da (2) ! = 24 ∙ √𝜋𝜋 = 5∙3∙1 8 ∙ √𝜋𝜋 ≈ 3,32; 7∙5∙3∙1 16 ∙ √𝜋𝜋 ≈ 11,63 va h.k. 826

Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot SIRI-2025 Quyida kasr sonlar uchun faktorialni hisoblash uchun Python dasturi tuzildi. 1-rasm. Kasr sonlar uchun faktorialni hisoblash uchun Python dasturi. Kasr sonlar faktorialini bu dastur yordamida hisoblangan qiymatlarini oddiy hisoblashdagi qiymatlar bilan solishtiramiz. 2-rasm. Dastur natijalari. Ko‘rinib turibdiki, dastur natijasida hosil bo`lgan va hisob-kitob qilingan natijalarning deyarli farq yo‘q. Bu dastur yordamida kasr sonlarning istalgan tartibli faktorialini hisoblay olamiz. Xulosa Xulosa qilib aytganda gamma funksiyasi nafaqat matematik funksiya, balki u statistik tahlil, fizik jarayonlar, moliyaviy xavfni baholash va tibbiy tadqiqotlarda, shuningdek, kundalik ilmiy izlanishlarda, modellashtirishda va hisoblashlarda samarali qo‘llanililadi. Adabiyotlar 3. Rakhimova Feruza Saidovna; Namozovich Kalandarov Utkir, on teaching students newton's method of solving one-dimensional optimization problems,central asian journal of mathematical theory and computer sciences,4,1,57-60,2023 4. Islamova Odila A; Chay Zoya S; Rakhimova Feruza S; Tadjibayeva Shahzodaxon E. Estimate of remainder term in CLT for the number of empty cells after allocation of particles,AIP Conference Proceedings, 2700, 1, 020021,2023,AIP Publishing LLC. 5. Abramowitz, M., & Stegun, I. A. (1964). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. National Bureau of Standards. 827

SIRI-2025 Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot 6. Arfken, G. B., & Weber, H. J. (2012). Mathematical Methods for Physicists (7th ed.). Elsevier. 7. Whittaker, E. T., & Watson, G. N. (1996). A Course of Modern Analysis (4th ed.). Cambridge University Press. 8. Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (1999). Special Functions. Cambridge University Press. 9. Artin, E. (2015). The Gamma Function. Dover Publications. 10. Rakhimov Bakhtiyar; Rakhimova Feroza; Sobirova, Sabokhat; Allaberganov, Odilbek; Mathematical Bases Of Parallel Algorithms For The Creation Of Medical Databases, InterConf, 2021. 828

Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot SIRI-2025 РОЛЬ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИКИ В ЭПОХУ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА Xasanova Lolaxon Erkin qizi, Rashidov Ilyas Shuxrat og‘li “Fundamental fanlar” kafedrasi, University of management and future technologies, lola.khasanova.93@mail.ru, kdhdmgshdhgd@gmail.com Аннотация: В настоящей статье рассматривается взаимное влияние вычислительных методов физики и современных технологий искусственного интеллекта. Проведен анализ ключевых способов интеграции нейросетевых алгоритмов в традиционные подходы физического моделирования, что позволяет существенно расширить возможности исследований в различных областях, от физики элементарных частиц до прикладной робототехники. Особое внимание уделяется техническим ограничениям существующих гибридных подходов и перспективным направлениям их преодоления. Ключевые слова: вычислительная физика, машинное обучение, гибридное моделирование, нейросетевой анализ данных, физически-обоснованные алгоритмы. Введение Развитие методов искусственного интеллекта радикально меняет ландшафт научных исследований во многих областях, и физические науки не являются исключением. Традиционные подходы к моделированию, опирающиеся на численное решение систем дифференциальных уравнений, зачастую требуют значительных вычислительных ресурсов и времени, особенно при анализе сложных нелинейных систем с большим числом степеней свободы. Интеграция методов машинного обучения предлагает альтернативные подходы, позволяющие в ряде случаев преодолеть "проклятие размерности" и достичь приемлемой точности результатов при значительно меньших затратах. За последние пять лет количество публикаций на стыке физики и искусственного интеллекта выросло более чем в четыре раза, что свидетельствует о стремительном развитии этого междисциплинарного направления. Данная работа ставит целью систематизировать основные тенденции этого развития и выделить наиболее перспективные направления дальнейших исследований. Современные подходы к интеграции физики и искусственного интеллекта Расширение возможностей физических симуляций. Можно выделить три основных направления применения методов ИИ для усовершенствования традиционных физических моделей. Первым является аппроксимация сложных вычислительных операций. Глубокие нейронные сети способны "выучивать" результаты сложных и ресурсоемких вычислений, что позволяет заменить прямое решение уравнений более эффективным нейросетевым приближением. Например, в работе Чена и соавторов (2018) использование предварительно обученных 829

SIRI-2025 Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot конволюционных сетей позволило ускорить моделирование турбулентных течений более чем в 15 раз при отклонении менее 5% от результатов прямого численного моделирования. Вторым направлением являются гибридные схемы вычислений. Этот подход предполагает сегментацию пространства решения на области, где применяются либо традиционные численные методы, либо нейросетевые аппроксиматоры, в зависимости от локальных особенностей моделируемой системы. Такая стратегия особенно эффективна для задач с ярко выраженными неоднородностями, например, в газодинамических расчетах с ударными волнами. Третье направление связано с обнаружением закономерностей в данных. Методы символьной регрессии в сочетании с глубоким обучением позволяют выявлять аналитические выражения, наилучшим образом описывающие наблюдаемые физические процессы. В исследовании Крамера и др. (2020) удалось автоматически обнаружить законы сохранения из необработанных данных траекторий механических систем. Физические симуляции как среда для развития ИИ. Не менее важным аспектом является обратное влияние – использование физических моделей для обучения и тестирования систем искусственного интеллекта. Физические симуляторы предоставляют возможность получить произвольный объем размеченных данных, что особенно ценно для задач, где сбор экспериментальных данных затруднен или дорогостоящ. Также симуляции позволяют создавать сценарии с точно заданными параметрами, что необходимо для систематической оценки робастности алгоритмов в контролируемых условиях. Немаловажен и доступ к скрытым переменным – симуляции дают возможность отслеживать любые характеристики системы, включая те, которые невозможно измерить в реальных экспериментах, что облегчает анализ причинно-следственных связей. Практические приложения гибридных подходов Физика элементарных частиц. Анализ данных экспериментов на Большом адронном коллайдере (БАК) – классический пример успешного применения глубокого обучения в физике высоких энергий. Разработанная в ЦЕРН система графовых нейронных сетей с физически мотивированной архитектурой позволяет в реальном времени фильтровать редкие события, представляющие научный интерес. Применение таких сетей позволило существенно повысить эффективность отбора событий распада тяжелых частиц, снизив при этом частоту ложных срабатываний. Прогнозирование климатических изменений. Глобальные климатические модели, несмотря на постоянное увеличение их сложности, все еще недостаточно точно воспроизводят процессы атмосферной конвекции и образования облаков. Работы Распа и Притчарда (2018) продемонстрировали, что использование сетей глубокого обучения для параметризации этих процессов позволяет существенно улучшить пространственное разрешение климатических прогнозов при сохранении приемлемых вычислительных затрат. 830

Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot SIRI-2025 Разработка новых материалов. Традиционный подход к поиску материалов с заданными свойствами требует проведения большого числа дорогостоящих экспериментов. Система SchrödingerNet, основанная на вариационных автоэнкодерах с встроенными физическими ограничениями, позволяет эффективно исследовать огромное пространство возможных химических соединений, предсказывая их свойства на основе квантово-механических принципов. Применение этого подхода привело к открытию нового перспективного полупроводникового соединения для солнечных элементов. Робототехнические системы. Ключевой проблемой в робототехнике является перенос навыков из виртуальной среды в реальный мир. Интеграция физических моделей, учитывающих тонкие эффекты реального мира (трение, деформации, гистерезис), в процесс обучения с подкреплением позволила значительно улучшить качество этого переноса. В экспериментах с манипуляторами это привело к повышению успешности выполнения сложных задач на 35-40% по сравнению с традиционными подходами. Методологические вызовы. Несмотря на успехи в интеграции физики и ИИ, остается ряд фундаментальных проблем. Проблема интерпретируемости заключается в том, что нейронные сети часто функционируют как "черные ящики", что противоречит требованию объяснимости научных моделей. Особенно остро эта проблема стоит в фундаментальных исследованиях, где понимание механизмов не менее важно, чем точность предсказаний. Существует также проблема ограниченной обобщающей способности. В отличие от физических законов, нейросетевые модели могут давать непредсказуемые результаты при выходе за границы обучающей выборки. Это ограничивает их применимость для исследования принципиально новых режимов и состояний. Вычислительная сложность представляет собой еще один вызов. Обучение современных глубоких моделей требует значительных вычислительных ресурсов, что противоречит исходной цели оптимизации расчетов. Этот парадокс особенно заметен для одноразовых расчетов, где затраты на обучение модели-суррогата превышают выигрыш от ее использования. Серьезной проблемой является неопределенность прогнозов. Большинство нейросетевых моделей не предоставляют надежных оценок погрешности своих предсказаний, что критично для научных и инженерных приложений, где требуется количественный анализ рисков. Перспективные направления развития На основе анализа текущего состояния области можно выделить несколько наиболее перспективных направлений. Дифференцируемое программирование и создание полностью дифференцируемых физических симуляторов позволит интегрировать их напрямую в процесс обучения нейронных сетей, что значительно повысит физическую согласованность получаемых моделей. 831

SIRI-2025 Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot Разработка мультимасштабных моделей, способных эффективно объединять информацию о физических процессах на разных масштабах (от атомных до макроскопических), представляется одним из ключевых вызовов для будущих исследований. Создание систем автоматизированного открытия законов, способных не только аппроксимировать наблюдаемые данные, но и выявлять фундаментальные закономерности в них, потенциально может революционизировать методологию научного исследования. По мере развития квантовых вычислений, возникает возможность создания гибридных квантово-классических алгоритмов машинного обучения (квантовоулучшенное обучение), которые могут иметь преимущества при моделировании квантовых систем. Заключение Взаимное обогащение методов физического моделирования и искусственного интеллекта создает уникальные возможности для решения как фундаментальных, так и прикладных научно-технических задач. Физическиинформированные нейронные сети и другие гибридные подходы демонстрируют значительные преимущества, особенно в системах со сложной нелинейной динамикой и ограниченными экспериментальными данными. Однако для полной реализации потенциала этого междисциплинарного направления необходимо преодолеть ряд методологических проблем, связанных с интерпретируемостью, обобщающей способностью и оценкой неопределенности нейросетевых моделей. Решение этих проблем требует не только технологических инноваций, но и переосмысления фундаментальных принципов научного моделирования в эпоху искусственного интеллекта. Литературы 1. Чен Дж., Лу Дж., Нин Ю. и др. Изучение динамики жидкости из данных с помощью глубоких нейронных сетей // Journal of Computational Physics. 2018. Т. 364. С. 232-247. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.04.037 2. Крамер М., Санчес-Гонсалес А., Баттальа П. и др. Обнаружение символических моделей на основе глубокого обучения с индуктивным смещением // NeurIPS 2020. https://doi.org/10.48550/arXiv.2006.11287 3. Расп С., Притчард М.С., Джентайн П. Глубокое обучение для представления подсеточных процессов в климатических моделях // PNAS. 2018. Т. 115. № 39. С. 9684-9689. https://doi.org/10.1073/pnas.1810286115 4. Карниадакис Г.Э., Кеврекидис И.Г., Лу Л. и др. Физически-информированное машинное обучение // Nature Reviews Physics. 2021. Т. 3. С. 422-440. 5. Райсси М., Пердикарис П., Карниадакис Г.Э. Физически-информированные нейронные сети: платформа глубокого обучения для решения прямых и обратных задач с нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных // Journal of Computational Physics. 2019. Т. 378. С. 686-707. 832

Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot SIRI-2025 ЭФФЕКТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ БЫСТРОГО УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ: АНАЛИЗ МЕТОДОВ И ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ПОДХОДОВ Surojiddin Pardaboyev, Tojixonov Javohir, Abdulov Ibroxim “Fundamental fanlar” kafedrasi, University of management and future technologies, Toshkent, O‘zbekiston. spardaboyev2148084@mail.ru, tazhikhonovvv@mail.ru, ibragim_0707i@mail.ru Аннотация: В данной статье рассматривается альтернативный способ умножения чисел, основанный на графическом представлении множителей и анализе точек пересечения геометрических прямых. Метод заключается в вертикальном изображении одного множителя и горизонтальном изображении другого, что приводит к образованию пересечений, количественные характеристики которых соответствуют разрядам произведения. Ключевые слова: методы, система, прямые, столбцы, пересечения. Введе ние Классические методы умножения, такие как столбцовое умножение или применение свойств десятичной системы, являются наиболее распространенными, однако альтернативные визуальные подходы могут упростить процесс понимания и вычисления. В данной работе представлен графический метод, который позволяет вычислять произведение чисел на основе анализа точек пересечения прямых. 1) Умножение многозначных чисел в столбик является стандартным арифметическим методом, используемым в математических вычислениях. Данный метод позволяет разбить сложное вычисление на последовательные этапы, обеспечивая точный результат. В данной статье рассмотрим процесс умножения чисел 322 и 431, используя традиционный алгоритм столбиком. Процесс умножения столбиком основан на разложении одного из множителей на разряды. Рассмотрим произведение: 322* 431. Шаг 1: Умножаем 322 на 1 (последняя цифра в числе 431): 322 *1 = 322 Шаг 2: Умножение на десятки Следующая цифра — 3 (десятки). 833

SIRI-2025 Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot Шаг 3: Умножаем 322 на 30 и записываем результат со сдвигом на одну позицию влево: 322*30 = 9660 Третья цифра — 4 (сотни). Умножаем 322 на 400 и записываем результат со сдвигом на две позиции влево: 322*400= 128800 Складываем полученные числа: 322 + 9660 + 128800 = 138782. Таким образом, результат произведения чисел 322 и 431 составляет 138782. Этот метод позволяет вычислять произведения больших чисел путем поэтапного разложения одного из множителей и последовательного сложения частичных произведений. 1) Процесс умножения столбиком основан на разложении одного из множителей на разряды. Рассмотрим произведение: 32*41 Шаг 1: Умножаем 32 на 1 (последняя цифра в числе 41): 32 *1 = 32 Шаг 2: Умножение на десятки Следующая цифра — 4 (десятки): 32*4= 128 записываем результат со сдвигом на одну позицию влево Складываем полученные числа: 32+128= 1312 Таким образом, результат произведения чисел 32 и 41 составляет 1312. Этот метод позволяет вычислять произведения больших чисел путем поэтапного разложения одного из множителей и последовательного сложения частичных произведений. Этот метод умножения позволяет эффективно и с минимальным количеством ошибок выполнять операции умножения чисел. Для выполнения операции умножения первое множимое записывается вертикально, а множитель — горизонтально. Такое расположение чисел образует геометрическую фигуру, в которой возникают пересечения. Используя эти пересечения, можно вычислить результат умножения. Рассмотрим два числа: 322 (размещаем вертикально) и 431 (размещаем горизонтально). Каждый разряд числа представлен группой линий, где сотни, десятки и единицы обозначаются соответствующим числом параллельных линий. Например, число 322 представляется тремя, двумя и двумя вертикальными линиями, а число 431 — четырьмя, тремя и одной горизонтальной линией. При 834

Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot SIRI-2025 наложении данных множеств линий образуются точки пересечения, которые группируются в зависимости от их расположения относительно разрядов. Подсчет точек в каждой области дает соответствующие значения разрядов произведения. Линии первого множителя пересекаются с линиями второго множителя, создавая определенное количество точек пересечения. • Начинаем подсчет точек пересечения с правого нижнего угла, который соответствует единичному разряду. • Следующий сегмент точек соответствует разряду десятков. • Далее рассматриваются сотни, тысячи и более высокие разряды. • Каждое количество точек умножается на соответствующую степень 10 (1, 10, 100 и т. д.), затем полученные значения суммируются. • Если в каком-либо разряде число точек превышает 9, производится перенос в следующий разряд. Рассмотрим произведение 322 × 431. • Пересечения в области единиц дают количество, соответствующее умножению единиц обоих чисел. • Пересечения в области десятков представляют сумму произведений единиц одного числа и десятков другого. • Аналогично формируются сотни, тысячи и более высокие разряды. • В конечном итоге все частичные суммы складываются, формируя окончательный результат. 13*22= 286 Этот метод умножения помогает выполнять операции умножения чисел быстро и с минимальными ошибками. Для начала первое число записывается вертикально, а второе — горизонтально. Такое расположение чисел образует сетку с пересечениями линий, которые позволяют вычислить результат. Возьмем два числа: 13 (расположим вертикально) и 22 (расположим горизонтально). Каждый разряд числа отображается как группа параллельных 835

SIRI-2025 Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot линий: для 13 это одна линия для сотен и три линии для единиц, а для 22 — две линии для десятков и две для единиц. При наложении этих линий на сетку возникают точки пересечения, которые можно классифицировать по разрядам. Подсчет точек в каждой области дает соответствующие цифры результата умножения. Алгоритм следующий: Начинаем с подсчета точек в начиная с правого нижнего угла (области единиц). Затем вычисляются пересечения для разряда десятков. Далее — для сотен. После подсчета точек в каждом разряде, их умножают на соответствующие степени десяти (1, 10, 100 и т. д.), после чего все полученные суммы складываются. Если в каком-либо разряде точек больше 9, осуществляется перенос в следующий разряд. Пример для 13 × 22: Пересечения в области единиц дают произведение единиц обоих чисел. В области десятков подсчитываются пересечения, соответствующие произведению единиц одного числа и десятков другого. Аналогично вычисляются сотни, тысячи и другие разряды. В конце все частичные суммы суммируются, давая итоговое произведение. Литература 1.“Qiziqarli matematika” Я. И. Перельман 2016г. 2.“Курс математического анализа” Л. И. Камынин 2001г . 3.“Курс математического анализа” I том , К. А. Бохан 1 1972г. 4.“Дифференциальное и интегральное исчисления” Н. С. Пискунов 1989г . 5.“Дифференциальное и интегральное исчисления” Г.М. Фихтенгольц 1992г. 6.“Основы гладкого анализа в многомерных пространствах” Ю. Г. Решетняк 2000г . 7.“Математический анализ” B. А. Зорин 2012г. 8.“Математический анализ. Углубленный курс” А. А. Никитин 2018г. 9. “Математический анализ” Л. Д. Кудрявцев 1981г. 10. «Глубокое изучение курса алгебры и математического анализа» Галицкий М.А. 1995г. 836

Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot SIRI-2025 V – SHo‘BA Texnologik innovatsiyalarning yashil raqamli iqtisodiyot va rivojlanish strategiyalariga ta’siri 837

SIRI-2025 Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot THE ROLE OF PROGRAMMING LANGUAGES IN SOFTWARE DEVELOPMENT Abdulakhatov Muzaffarjon International Nordic University, Tashkent, Uzbekistan. muzaffar.abdulakhatov@gmail.com Abstract: Programming languages are the backbone of software development, serving as the primary means through which developers communicate with computers to create applications, systems, and solutions. This article explores the significance of programming languages in the software development lifecycle and their impact on productivity, maintainability, and the overall quality of software products. Keywords: Programming, programming languages, software, Python, Java, JavaScript, Ruby, object-oriented languages, high-level languages, C, C++, C#, software development. Introduction Numerous firms strive to engineer sophisticated technological platforms to vie in the marketplaces and furnish individuals with robust programming skills prospects. According to the Bureau of Labor Statistics, the quantity of employment openings for software engineers will surge by 22% between 2020 and 2030. In the realm of software development, programming languages play a crucial role in shaping how developers approach problem-solving and implement solutions. Each language comes with its syntax, semantics, and paradigms, influencing the way software is designed, built, and maintained. Understanding the role of programming languages is essential for developers, project managers, and stakeholders involved in software projects. Programming languages are fundamental tools for software development, enabling developers to communicate with computers by writing instructions that can be executed to create software applications. They transform human logic into machine-readable commands to solve problems and automate tasks; the selection of language significantly affects the efficiency and functionality of the final software product. While particular jobs may need programmers to understand one language, engineers and coders must know different languages to contend in their fields. Coders and programmers select those dialects appropriate for the product categories they construct and the industry they desire to secure a position in. Thus, the relevant query is, which language is primarily employed in software creation? For illustration, Java is a prominent coding language for mobile application crafting. Furthermore, Cascading Style Sheets (CSS), JavaScript, and Hypertext Markup Language (HTML) are first-rate languages for user interface development. There are Python and C sharp too, which are utilized to generate computer programs. 838

Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot SIRI-2025 Figure 1. Role of programming languages in software development Programming languages serve as the foundation of software development. They are used to write instructions that computers can comprehend and execute. Programming languages are crucial because they empower developers to create software capable of solving complex problems, automating tasks, and enhancing efficiency. Programmers employ various programming languages to build custom software for businesses and consumers. According to a study by CodingDojo, the leading 25 US organizations use several languages to build their backend frameworks. The main types of programming languages. rogramming languages are essential tools for developers, enabling them to communicate with computers and create software applications. This document provides an overview of the main types of programming languages, categorizing them based on their characteristics and use cases. Understanding these categories can help aspiring programmers choose the right language for their projects and enhance their coding skills. 1. High-level languages. High-level languages are designed to be easy for humans to read and write. They abstract away the complex details of the computer's hardware, allowing developers to focus on problem-solving rather than machine-level instructions. Examples include: - Python: Known for its simplicity and readability, making it ideal for beginners and rapid development. - Java: A versatile language widely used in enterprise applications, mobile apps, and web development. - JavaScript: Primarily used for web development, enabling interactive and dynamic content on websites. 839

SIRI-2025 Sun’iy Intellekt va Raqamli Iqtisodiyot Figure 2. Overview of popular high-level languages 2. Low-level languages. Low-level languages provide little abstraction from a computer's instruction set architecture. They are closer to machine code and are often used for system programming. Examples include: Figure 3. Low-level languages 3. Scripting languages. Scripting languages are typically interpreted rather than compiled, making them suitable for automating tasks and enhancing the functionality of applications. They are often used for web development and system administration. Examples include: Figure 4. The main scripting languages 840