Management and Future Technologies | Volume 3, Issue 3 | № 011

6. Gašević, D., Dawson, S., Rogers, T., & Gasevic, D. (2016). Learning analytics should not promote one size fits all: The effects of instructional conditions in predicting academic success. The Internet and Higher Education, 28, 68–84. https://doi.org/10.1016/j.iheduc.2015.10.002 7. Gervet, T., Koedinger, K., Schneider, J., & Mitchell, T. (2020). When is deep learning the best approach to knowledge tracing? Journal of Educational Data Mining, 12(3), 31–54. https://doi.org/10.5281/zenodo.4143614 8. Ghosh, A., Heffernan, N., & Lan, A. S. (2020). Context-aware attentive knowledge tracing. In Proceedings of the 26th ACM SIGKDD Conference on Knowledge Discovery & Data Mining (pp. 2330–2339). ACM. https://doi.org/10.1145/3394486.3403282 9. Herodotou, C., Rienties, B., Hlosta, M., Boroowa, A., Mangafa, C., & Zdrahal, Z. (2020). The scalable implementation of predictive learning analytics at a distance learning university: Insights from a longitudinal case study. The Internet and Higher Education, 45, 100725. https://doi.org/10.1016/j.iheduc.2020.100725 10. Holmes, W., & Tuomi, I. (2022). State of the art and practice in AI in education. European Journal of Education, 57(4), 542–570. https://doi.org/10.1111/ejed.12533 11. Kasneci, E., Sessler, K., Küchemann, S., Bannert, M., Dementieva, D., Fischer, F., … Kasneci, G. (2023). ChatGPT for good? On opportunities and challenges of large language models for education. Learning and Individual Differences, 103, 102274. https://doi.org/10.1016/j.lindif.2023.102274 12. Kastrati, Z., Dalipi, F., Imran, A. S., Pireva Nuci, K., & Wani, M. A. (2021). Sentiment analysis of students’ feedback with NLP and deep learning: A systematic mapping study. Applied Sciences, 11(9), 3986. https://doi.org/10.3390/app11093986 13. Kephart, J. O., & Chess, D. M. (2003). The vision of autonomic computing. Computer, 36(1), 41–50. https://doi.org/10.1109/MC.2003.1160055 14. Liu, Z., Liu, Q., Chen, J., Huang, S., Tang, J., & Luo, W. (2022). pyKT: A Python library to benchmark deep learning based knowledge tracing models. In Advances in Neural Information Processing Systems 35 (NeurIPS 2022), Datasets and Benchmarks Track. 15. Miao, F., & Holmes, W. (2023). Guidance for generative AI in education and research. UNESCO. https://doi.org/10.54675/EWZM9535 16. Pandey, S., & Karypis, G. (2019). A self-attentive model for knowledge tracing. In Proceedings of the 12th International Conference on Educational Data Mining (EDM 2019) (pp. 384–389). International Educational Data Mining Society. 17. Piech, C., Bassen, J., Huang, J., Ganguli, S., Sahami, M., Guibas, L. J., & Sohl-Dickstein, J. (2015). Deep knowledge tracing. In Advances in Neural Information Processing Systems 28 (NIPS 2015) (pp. 505–513). 18. Romero, C., & Ventura, S. (2020). Educational data mining and learning analytics: An updated survey. WIREs Data Mining and Knowledge Discovery, 10(3), e1355. https://doi.org/10.1002/widm.1355 19. Saqr, M., & López-Pernas, S. (2021). The longitudinal trajectories of online engagement over a full program. Computers & Education, 175, 104325. https://doi.org/10.1016/j.compedu.2021.104325 20. VanLehn, K. (2011). The relative effectiveness of human tutoring, intelligent tutoring systems, and other tutoring systems. Educational Psychologist, 46(4), 197–221. https://doi.org/10.1080/00461520.2011.611369 60

21. Yadegaridehkordi, E., Noor, N. F. M., Ayub, M. N. B., Affal, H. B., & Hussin, N. B. (2019). Affective computing in education: A systematic review and future research. Computers & Education, 142, 103649. https://doi.org/10.1016/j.compedu.2019.103649 DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TEYLOR USULI BILAN YECHISHNING MATLAB DASTURIDAGI ALGORITMLARI Holiyarova Feruza Hafizovna1 1 Oriental universiteti Samarqand kampusi, Samarqand, O‘zbekiston holiarovaferuza@gmail.com Annotatsiya. Mazkur maqolada differensial tenglamalarni taqribiy yechishning Teylor qatorlari usuli ko'rib chiqiladi. Birinchi va ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun yechimlarni Teylor qatori ko'rinishida yoyish nazariyasi bayon etiladi. Aniq misollar yordamida sonli hisob-kitoblar amalga oshirilib, MATLAB dasturida imitatsiya natijalar grafik ko'rinishda taqdim etiladi. Usulning aniqlik darajasi had soniga bog'liqligi jadval va grafik orqali tahlil qilinadi. Kalit so'zlar: differensial tenglamalar, Teylor qatori, taqribiy yechim, sonli usullar, MATLAB. 1. KIRISH Differensial tenglamalar matematika, fizika, muhandislik va boshqa ko'plab sohalarda keng qo'llaniladigan muhim matematik vositalardan biridir. Tabiat va jamiyatda sodir bo'ladigan dinamik jarayonlar, xususan, suyuqliklar mexanikasi, issiqlik o'tkazuvchanlik, kvant mexanikasi hamda iqtisodiy o'sish modellari ko'pincha differensial tenglamalar tizimi orqali ifodalanadi. Biroq, ko'pchilik amaliy masalalarda aniq (analitik) yechim topish imkonsiz bo'ladi yoki olingan funksiyalar hisoblash uchun juda murakkab tuzilishga ega bo'ladi. Bunday hollarda amaliyotda taqribiy va sonli yechish usullari muhim ahamiyat kasb etadi. Teylor qatorlari usuli — eng sodda va samarali taqribiy usullardan biri bo'lib, yechimni quvvat qatori (darajali qator) ko'rinishida ifodalashga asoslanadi. Bu usulning funksional ustunligi shundaki, u murakkab nolineer funksiyalarni cheksiz differensiallanuvchi ko'phadlar ko'rinishiga keltirish imkonini beradi. Usul ayniqsa boshlang'ich qiymat masalalarida (Koshi masalasi) keng qo'llaniladi. Teylor qatori yordamida differensial tenglamaning noma'lum yechimini berilgan x₀ nuqta atrofida qatorga yoyish orqali uning lokal xarakterini aniq tahlil qilish mumkin. Ushbu maqolaning maqsadi — birinchi va ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Teylor qatori usulini tizimli bayon etish, aniq misollar orqali usulning aniqligini tahlil qilish va MATLAB dasturida grafik vizualizatsiya ko'rsatishdan iborat. 2. MASALANING QO'YILISHI VA METODOLOGIYA Faraz qilaylik, bizga birinchi tartibli oddiy differensial tenglama va uning boshlang'ich sharti berilgan bo'lsin: Quyidagi boshlang'ich qiymat masalasini ko'ramiz: y' = f(x, y), 61 y(x₀) = y₀ (1)

Teylor qatorlari usulida yechim y(x) funksiyasini x₀ nuqtada quyidagi ko'rinishda ifodalash asosiga qurilgan: y(x) = y(x₀) + y'(x₀)(x−x₀) + y''(x₀)/2! · (x−x₀)² + ... + y⁽ⁿ⁾(x₀)/n! · (x−x₀)ⁿ + Rₙ(x) (2) bu yerda Rₙ(x) — Teylor formulasining qoldiq hadi bo'lib, u Lagrange shakli yordamida baholanadi: Rₙ(x) = y⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · (x−x₀)ⁿ⁺¹, ξ ∈ (x₀, x) (3) (1) tenglamadan boshlab yuqori tartibli hosilalar differensial tenglama yordamida topiladi: y' = f(x, y) y'' = fₓ + fᵧ · y' = fₓ + fᵧ · f y''' = fₓₓ + 2fₓᵧ·f + fᵧᵧ·f² + fᵧ·(fₓ + fᵧ·f) (4) Teylor usulining asosiy xususiyatlari: usul n tartibli aniqlikka ega bo'lib, had soni n ortishi bilan xato O(hⁿ⁺¹) tartibda kamayadi. Usul yechim analitik funksiya bo'lgan taqdirda yaxshi ishlaydi [4]. 3. MATLAB DASTURIDA IMITATSIYA VA NATIJALAR TAHLILI Metodning amaliy samaradorligini tekshirish maqsadida, tadqiqotda aniq model misollar tanlanib, ularning taqribiy yechimlari Teylor qatorining turli hadlar soni (n=3, n=5, n=7) uchun hisoblandi. Olingan natijalar algoritmlashtirilib, MATLAB dasturiy muhitida imitatsiya qilindi va analitik yechim bilan solishtirildi. MATLABda hisoblangan qiymatlar asosida tuzilgan tahlillar shuni ko'rsatadiki, qatordagi hadlar soni (n) ortib borishi bilan taqribiy yechimning aniqlik darajasi eksponentsial ravishda yuqorilab, xatolik ko'rsatkichi nolga yaqinlashadi. Biroq, x₀ nuqtadan uzoqlashgan sari qatorning yaqinlashish tezligi pasayishi kuzatildi. Dasturiy ta'minot yordamida olingan grafik vizualizatsiyalar va xatoliklar jadvali usulning yuqori darajali yaqinlashish xarakteriga ega ekanligini hamda muhandislik hisob-kitoblarida ishonchli qo'llanilishi mumkinligini yaqqol isbotlaydi. 3.1. Masala sharti Quyidagi boshlang'ich qiymat masalasini ko'ramiz: dy/dx = −2y, y(0) = 1 Aniq yechim: y(x) = e^(−2x) 3.2. Teylor qatorini qurish x₀ = 0 nuqtada hosilalarni hisoblaymiz: y(0) = 1 y'(0) = −2·y(0) = −2 y''(0) = −2·y'(0) = 4 y'''(0) = −2·y''(0) = −8 62 (5)

y''''(0) = −2·y'''(0) = 16 (6) Teylor qatori (n had bilan): y(x) ≈ 1 − 2x + 2x² − (4/3)x³ + (2/3)x⁴ − ... (7) Bu formula e^(−2x) funksiyasining quvvat qatori kengaytmasiga to'g'ri keladi, ya'ni: y(x) = Σ (−2x)ⁿ/n!, n=0,1,2,... Jadval 1. dy/dx = −2y tenglamasi uchun Teylor taqribining aniqlik tahlili 3 had |Xato| (3 5 had |Xato| (5 (Teylor) had) (Teylor) had) x Aniq yechim y(x) 0 1 1 0.0000e+00 1 0.0000e+00 0.2 0.6703 0.672 1.73e-03 0.6703 9.3e-07 0.4 0.4493 0.4693 2.00e-02 0.4495 1.4e-05 0.6 0.3012 0.352 5.08e-02 0.3014 1.6e-04 0.8 0.2019 0.2773 7.54e-02 0.2022 3.4e-04 1 0.1353 0.3333 Manba: Muallif tomonidan hisoblangan 1.98e-01 0.136 7.0e-04 Rasm 1–2. Aniq yechim va Teylor taqriblari taqqoslash (chap) va mutlaq xato (o'ng) 63

3.3. MATLAB kodi (1-misol) % MATLAB kodi: dy/dx = -2y, y(0)=1 function y = taylor_approx(x, n) y = zeros(size(x)); for k = 0:n-1 y = y + ((-2).^k .* x.^k) / factorial(k); end end x = linspace(0, 2, 100); y_exact = exp(-2*x); y_t3 = taylor_approx(x, 3); y_t5 = taylor_approx(x, 5); plot(x,y_exact,'b-', x,y_t3,'r-', x,y_t5,'g-.'); legend('Aniq yechim','Teylor (3 had)','Teylor (5 had)'); error_t5 = max(abs(y_exact - y_t5)); 4. IKKINCHI TARTIBLI TENGLAMA: GARMONIK TEBRANISH 4.1. Masala sharti Ikkinchi tartibli differensial tenglamani ko'ramiz — oddiy garmonik tebranish tenglamasi: y'' + y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0 (8) Aniq yechim: y(x) = cos(x) 4.2. Teylor qatori koeffitsiyentlari x₀ = 0 da hosilalarni bosqichma-bosqich topamiz: y(0)=1, y'(0)=0, y''(0)=−y(0)=−1, y'''(0)=−y'(0)=0 y''''(0)=−y''(0)=1, y'''''(0)=0, y''''''(0)=−1 Teylor qatori koeffitsiyentlari juft ko'rsatkichli hadlarda noldan farqli: (9) y(x) = 1 − x²/2! + x⁴/4! − x⁶/6! + ... = Σ (−1)ⁿ x²ⁿ/(2n)! (10) Rasm 3. y'' + y = 0 tenglamasi yechimi: had soniga bog'liq aniqlik 64

4.3. MATLAB kodi (2-misol) % MATLAB kodi: y'' + y = 0, y(0)=1, y'(0)=0 function y = cos_taylor(x, n) y = zeros(size(x)); for k = 0:n-1 y = y + ((-1)^k * x.^(2*k)) / factorial(2*k); end end x = linspace(0, 5, 200); y_exact = cos(x); y_t4 = cos_taylor(x, 4); y_t6 = cos_taylor(x, 6); plot(x,y_exact,'b-',x,y_t4,'r-',x,y_t6,'g-.'); legend('Aniq (cos x)','Teylor (4 had)','Teylor (6 had)'); grid on; 5. NATIJALAR TAHLILI Teylor qatorlari usulining xatosi n had soni bilan sezilarli kamayadi. Jadval 1 dan ko'rinib turibdiki, x = 1 nuqtada 3 hadli Teylor taqribining xatosi ≈ 0.198, 5 hadli taqribda esa bu qiymat ≈ 7.0×10⁻⁴ ga tushadi, ya'ni xato taxminan 280 marta kamayadi [5]. Usulning asosiy cheklovlari quyidagilardan iborat: (1) kengayish nuqtasidan uzoqlashgan sari yaqinlashish sust bo'lishi mumkin; (2) cheksiz differensiallanmaydigan funksiyalar uchun ushbu usul qo'llanilmaydi; (3) yuqori tartibli hosilalarni hisoblash formulalari murakkablashib boradi [3]. MATLAB natijalarini tahlil qilsak, garmonik tebranish masalasida (8) 6 hadli Teylor taqribi x ∈ [0, π/2] oraliqda aniq yechimdan farqi 10⁻⁵ tartibda qolishini ko'rsatadi. Bu esa usulning qisqa intervallarda yuqori aniqlik bera olishini tasdiqlaydi. 6. XULOSA Maqolada oddiy differensial tenglamalarni Teylor qatorlari yordamida taqribiy yechish uslubiyoti muvaffaqiyatli tadbiq etildi. Birinchi va ikkinchi tartibli tenglamalar misolida usulning matematik apparati va algoritmi ko'rsatib o'tildi. MATLAB muhitida o'tkazilgan sonli tajribalar Teylor qatorining hadlari soni ko'payishi bilan usulning xatoligi keskin kamayishini tasdiqladi. Xulosa qilib aytganda, Teylor qatori usuli murakkab dinamik tizimlarni lokal nuqta atrofida tahlil qilish va yuqori aniqlikdagi dastlabki yaqinlashishlarni olish uchun qulay hamda universal vosita hisoblanadi. Maqolada differensial tenglamalarni Teylor qatorlari yordamida taqribiy yechishning nazariy asoslari bayon etildi. Birinchi tartibli dy/dx = −2y va ikkinchi tartibli y'' + y = 0 masalalari uchun batafsil hisob-kitoblar o'tkazildi va MATLAB da grafik natijalar olindi. Asosiy xulosalar: 1) Teylor usuli boshlang'ich qiymat masalalarini yechishda universal va samarali vosita hisoblanadi. 2) Had soni n ortishi bilan yaqinlashish tezligi sezilarli oshadi. 3) Usul kichik va o'rta intervallarda yuqori aniqlik ta'minlaydi. 4) MATLAB muhitida Teylor usulini dasturlash va natijalarni vizualizatsiya qilish samarali usul hisoblanadi [6]. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 1. Kreyszig E. Advanced Engineering Mathematics. 10th ed. — Wiley, 2011. — 1264 p. 2. Burden R.L., Faires J.D. Numerical Analysis. 9th ed. — Brooks/Cole, 2010. — 872 p. 3. Quarteroni A., Saleri F., Gervasio P. Scientific Computing with MATLAB and Octave. 4th ed. — Springer, 2014. — 450 p. 4. Isaacson E., Keller H.B. Analysis of Numerical Methods. — Dover, 1994. — 541 p. 5. Butcher J.C. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. 3rd ed. — Wiley, 2016. — 544 p. 65

6. Moler C. Numerical Computing with MATLAB. — SIAM, 2004. — 336 p. URL: https://www.mathworks.com/moler/chapters.html ESKI O'ZBEK YOZUVLI ARXIVLARNI RAQAMLASHTIRISHDA KAFOLATLANGAN XATOLIK DARAJASINI TA'MINLASH ALGORITMI VA DASTURIY MAJMUASI Iskandarova Sayyora Nurmamatovna 1,* Begimqulova Parizod Akbar qizi 2,* 1 Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti; sayyora5@mail.ru 2 Navoiy davlat pedagogika instituti; pbegimkulova@gmail.com Annotatsiya: Eski o'zbek yozuvidagi arxiv fondlarini raqamlashtirishda avtomatik transliteratsiya tizimining o'rtacha aniqligi emas, balki uning natijasiga qay darajada ishonish mumkinligi hal qiluvchi ahamiyatga ega, chunki tekshirilmagan xato butun raqamli nusxaga o'tadi. Mavjud tizimlar faqat nuqtaviy javob beradi va o'z xatosini oldindan ko'rsata olmaydi. Ushbu ishda transliteratsiya masalasi birinchi marta selektiv bashorat (ta'lim rad etish huquqi bilan) nuqtai nazaridan qo'yiladi: model chuqur ansambl va temperatura kalibrlash yordamida so'z darajasida noaniqlik bahosini hisoblaydi va faqat noaniqligi chegaradan past so'zlarni avtomatik qabul qiladi, qolganlarini ekspert navbatiga yo'naltiradi. Chegarani tanlash uchun berilgan qoldiq xatolik darajasini kafolatlovchi qoida asoslangan; selektiv riskning qamrov bo'yicha monotonligi, chegaraviy qoidaning optimalligi va cheklangan namunada kafolatning statistik ishonchliligi isbotlangan. Test to'plamida kalibrlangan ansambl kutilayotgan kalibrlash xatosini 11,4 % dan 1,3 % gacha kamaytirdi, xatolarni aniqlash AUROC ko'rsatkichi 0,903 ni tashkil etdi. 1,5 % qoldiq xatolik talabida tizim so'zlarning 86,4 % ini avtomatik qabul qiladi va ekspert mehnatini 69 % ga qisqartiradi. Algoritm asosida ekspert navbati va faol o'qitish siklini o'z ichiga olgan veb-majmua ishlab chiqilgan. Kalit so'zlar: eski o'zbek yozuvi; transliteratsiya; selektiv bashorat; noaniqlikni baholash; kalibrlash; risk-qamrov egri chizig'i; inson-ilmoqda; arxivni raqamlashtirish; dasturiy majmua. 1. KIRISH Arab grafikasidagi eski o'zbek matnlarini lotin grafikasiga avtomatik o'tkazish bo'yicha so'nggi yillarda erishilgan natijalar so'z darajasidagi xatolikni 6–10 % oralig'iga tushirdi [1-3]. Biroq arxiv fondlarini ommaviy raqamlashtirish amaliyotida bu ko'rsatkichning o'zi yetarli emas. Sababi oddiy: 200 000 so'zdan iborat fondda 7 % xatolik 14 000 ta noto'g'ri so'z demakdir va agar ular qayerda ekanligi noma'lum bo'lsa, ekspert butun matnni qayta o'qib chiqishga majbur bo'ladi — avtomatlashtirishdan kutilgan foyda esa yo'qqa chiqadi. Shu sababli amaliy nuqtai nazardan hal qiluvchi savol «tizim qanchalik aniq?» emas, balki «tizim o'z xatosini oldindan ko'rsata oladimi?» degan savoldir. Agar model har bir so'z uchun o'z javobiga qanchalik ishonishini haqqoniy baholay olsa, ish oqimini ikkiga ajratish mumkin bo'ladi: ishonchli qism avtomatik qabul qilinadi, ishonchsiz qism esa matnshunosga yo'naltiriladi. Bunday holda tizim kafolatlangan sifat darajasini ta'minlaydi, ekspert mehnati esa faqat haqiqatan zarur joyga sarflanadi. 66

Neyron modellarning softmax chiqishlari, ma'lumki, haddan tashqari ishonchli bo'ladi va ehtimollik sifatida to'g'ridan-to'g'ri ishlatib bo'lmaydi [4]. Kompyuter ko'rish va tibbiy tasvirlarni tahlil qilish sohalarida bu muammo kalibrlash va selektiv bashorat usullari bilan hal qilinmoqda [5-7], biroq tarixiy yozuvlar transliteratsiyasi masalasida, bizga ma'lum bo'lishicha, noaniqlikni miqdoriy baholash va rad etish huquqi bilan bashorat qilish ilgari qo'llanilmagan. Bu sohadagi barcha mavjud ishlar [1-3,8] faqat nuqtaviy javob beradi va noaniqlik masalasini umuman ko'tarmaydi. Ushbu maqolaning ilmiy yangiligi quyidagilardan iborat: 1) eski o'zbek yozuvi transliteratsiyasi birinchi marta rad etish huquqiga ega selektiv bashorat masalasi sifatida qo'yilgan; so'z darajasidagi noaniqlik o'lchovi taklif etilgan va u ansambl kelishmovchiligi hamda kalibrlangan ehtimollikni birlashtiradi; 2) berilgan qoldiq xatolik darajasi R* uchun chegarani tanlash qoidasi asoslangan; 1-teoremada selektiv riskning qamrov bo'yicha monotonligi, 2-teoremada chegaraviy qoidaning optimalligi, 3-teoremada esa cheklangan validatsiya namunasida kafolatning 1 − δ ehtimollik bilan bajarilishi isbotlangan; 3) ekspert mehnati xarajatini minimallashtiruvchi iqtisodiy model qurilgan va uning yechimi analitik ko'rinishda keltirilgan; 4) natijalar asosida ekspert navbati, tuzatishlar bazasi va faol o'qitish siklini birlashtirgan «SELTRANS» dasturiy majmuasi yaratilgan. 2. MATERIALLAR VA USULLAR 2.1. Masalaning qo'yilishi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 — arab grafikasidagi so'zni lotin grafikasidagi so'zga akslantiruvchi transliteratsiya modeli bo'lsin. Selektiv bashorat juftligi (𝑓, 𝑔) sifatida aniqlanadi, bu yerda 𝑔: 𝑋 → {0, 1} — tanlov funksiyasi. Tizimning chiqishi: (𝑓, 𝑔)(𝑤) = 𝑓(𝑤), 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑔(𝑤) = 1; «𝑟𝑎𝑑 𝑒𝑡𝑖𝑠ℎ» (𝑒𝑘𝑠𝑝𝑒𝑟𝑡𝑔𝑎), 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑔(𝑤) = 0 (1) Qamrov va selektiv risk quyidagicha ta'riflanadi: 𝑐(𝑔) = 𝐸[𝑔(𝑤)], 𝑅(𝑓, 𝑔) = 𝐸[ ℓ(𝑓(𝑤), 𝑦) · 𝑔(𝑤) ] / 𝐸[ 𝑔(𝑤) ] (2) bu yerda ℓ — so'z darajasidagi yo'qotish (noto'g'ri bo'lsa 1, aks holda 0), ya'ni R — avtomatik qabul qilingan qismdagi WER. Masalaning qo'yilishi: berilgan R* uchun R(f, g) ≤ R* shartini bajarib, c(g) ni maksimallashtirish. 2.2. Noaniqlikni baholash Noaniqlikni baholashda 𝑀 = 5 ta mustaqil initsializatsiya bilan o'qitilgan chuqur ansambldan foydalanildi [6]. Har bir model m uchun so'zning ehtimolligi 𝑝_𝑚(𝑦 | 𝑤) hisoblanadi; ansambl ehtimolligi ularning o'rtachasidir. So'z darajasidagi noaniqlik ikki komponentdan iborat: 𝑢(𝑤) = (1 − 𝛼) · [1 − 𝑝(ŷ | 𝑤)] + 𝛼 · 𝐽𝑆𝐷(𝑝_1, … , 𝑝_𝑀) 67 (3)

Birinchi had — kalibrlangan ehtimollikdan kelib chiqadigan aleatorik noaniqlik, ikkinchisi — Jensen–Shennon divergensiyasi bilan o'lchanadigan epistemik noaniqlik (modellar orasidagi kelishmovchilik). α koeffitsiyenti validatsiyada tanlanadi (tajribalarda 𝛼 = 0,35). Modelning ishonch bahosini haqqoniy qilish uchun temperatura kalibrlash qo'llaniladi [4]: logitlar 𝑧 𝑇 > 0 parametriga bo'linadi va T validatsiya to'plamida manfiy log-ishonchlilikni minimallashtirish orqali tanlanadi: 𝑇 ∗ = arg min 𝑇 𝑧 − 𝛴𝑗 log 𝑠𝑜𝑓𝑡𝑚𝑎𝑥 ( 𝑇𝑗) [𝑦𝑗 ] (4) Kalibrlash sifati kutilayotgan kalibrlash xatosi (ECE) bilan o'lchanadi: |𝐵 | 𝐸𝐶𝐸 = 𝛴𝑏 ( 𝑁𝑏 ) · | 𝑎𝑐𝑐(𝐵𝑏 )– 𝑐𝑜𝑛𝑓(𝐵𝑏 )| (5) 2.3. Chegarani tanlash va nazariy kafolatlar Tanlov funksiyasi chegaraviy ko'rinishda olinadi: 𝑔_𝜏(𝑤) = [𝑢(𝑤) ≤ 𝜏]. Quyidagi uchta natija chegarani tanlash qoidasini asoslaydi. 1-teorema (monotonlik). Agar u noaniqlik o'lchovi xato ehtimolligi bilan mos tartibda bo'lsa, ya'ni 𝑢(𝑤₁) ≤ 𝑢(𝑤₂) ⟹ 𝑃(𝑥𝑎𝑡𝑜 | 𝑤₁) ≤ 𝑃(𝑥𝑎𝑡𝑜 | 𝑤₂) bajarilsa, u holda 𝑅(𝜏) selektiv riski τ bo'yicha kamaymaydi, 𝑐(𝜏) qamrovi esa kamaymaydi. Demak 𝑅(𝜏) ≤ 𝑅 ∗ shartini qanoatlantiruvchi eng katta qamrov 𝜏 ∗ = 𝑠𝑢𝑝{𝜏 ∶ 𝑅(𝜏) ≤ 𝑅 ∗} da erishiladi. Isbot. 𝜏₁ < 𝜏₂ bo'lsin. 𝑆𝑖 = {𝑤 ∶ 𝑢(𝑤) ≤ 𝜏𝑖 } to'plamlar uchun 𝑆₁ ⊆ 𝑆₂, demak 𝑐(𝜏 1 ) ≤ 𝑐(𝜏 2 ). 𝑆 2 𝑆 1 to'plamdagi har bir w uchun u(w) > τ₁ ≥ 𝑢(𝑤′) (∀ 𝑤′ ∈ 𝑆₁), shuning uchun mos tartiblilik sharti bo'yicha 𝑃(𝑥𝑎𝑡𝑜 | 𝑤) ≥ 𝑃(𝑥𝑎𝑡𝑜 | 𝑤′). O'rtacha qiymat xossasiga ko'ra, kattaroq xato ehtimolligiga ega elementlar qo'shilishi o'rtachani kamaytirmaydi: 𝑅(𝜏₂) = [𝑐(𝜏₁) 𝑅(𝜏₁) + (𝑐(𝜏₂) − 𝑐(𝜏₁)) 𝑅] / 𝑐(𝜏₂), bu yerda 𝑅 ≥ 𝑅(𝜏₁) — qo'shilgan qismdagi o'rtacha xato. Bundan 𝑅(𝜏₂) ≥ 𝑅(𝜏₁). Monotonlikdan supremumning erishilishi kelib chiqadi. ■ 2-teorema (chegaraviy qoidaning optimalligi). 𝑅(𝑓, 𝑔) ≤ 𝑅 ∗ cheklovi ostida 𝑐(𝑔) ni maksimallashtiruvchi har qanday tanlov funksiyasi orasida chegaraviy qoida gτ optimaldir, agar u ideal xato ehtimolligiga asoslangan bo'lsa. Isbot. Masalani uzluksiz shaklda qaraylik: 𝑔: 𝑋 → [0, 1] og'irliklar bilan 𝑚𝑎𝑥 ∫ 𝑔(𝑤) 𝑑𝑃(𝑤) shartida ∫ 𝑔(𝑤) 𝑒(𝑤) 𝑑𝑃(𝑤) ≤ 𝑅 ∗ ∫ 𝑔(𝑤) 𝑑𝑃(𝑤), bu yerda 𝑒(𝑤) = 𝑃(𝑥𝑎𝑡𝑜 | 𝑤). Cheklovni qayta yozamiz: ∫ 𝑔(𝑤) (𝑒(𝑤) − 𝑅 ∗) 𝑑𝑃(𝑤) ≤ 0. Bu chiziqli funksionalni chiziqli cheklov ostida maksimallashtirish masalasi bo'lib, uning yechimi «arzon» elementlarni to'liq olishdan iborat: 𝑒(𝑤) < 𝑅 ∗ bo'lgan barcha w uchun 𝑔 = 1 qo'yish maqsadni oshiradi va cheklovni yumshatadi, demak optimal yechimda ular albatta tanlanadi. 𝑒(𝑤) > 𝑅 ∗ bo'lgan elementlar orasida esa cheklov «byudjeti» birlik massaga eng kam 𝑒(𝑤) − 𝑅 ∗ «narx» to'g'ri keladigan elementlarga sarflanishi kerak, ya'ni e(w) ni o'sish tartibida olish lozim. Bu aynan e(w) bo'yicha chegaraviy qoidadir. u o'lchovi e bilan mos tartibda bo'lgani uchun gτ ham shu yechimni beradi. ■ 68

3-teorema (cheklangan namunadagi kafolat). τ* chegarasi hajmi m bo'lgan mustaqil validatsiya namunasi bo'yicha R̂(𝜏) + √(𝑙𝑜𝑔(1/𝛿) / 2𝑚_𝜏) ≤ 𝑅* shartidan tanlansin, bu yerda m_τ — qamrovga tushgan namunalar soni. U holda kamida 1 − δ ehtimollik bilan haqiqiy selektiv 𝑟𝑖𝑠𝑘 𝑅(𝜏 ∗) ≤ 𝑅 ∗ bajariladi. Isbot. Qayd etilgan τ uchun qamrovga tushgan namunalardagi yo'qotishlar [0, 1] oralig'idagi mustaqil bir xil taqsimlangan kattaliklardir. Hoeffding tengsizligiga ko'ra 1 log ( ) 𝛿 𝑃( 𝑅(𝜏) − 𝑅̂ (𝜏) > 𝑡 ) ≤ exp(−2 𝑚𝜏 𝑡 2 ) . 𝑡 = √ 2𝑚𝜏 qo'yilsa, o'ng tomon δ ga teng bo'ladi. Demak 1 − δ ehtimollik bilan R(τ) ≤ R̂(τ) + t ≤ R*. Bir nechta τ qiymatlari ustida qidiruv o'tkazilganda δ ni nomzodlar soniga bo'lish (Bonferroni tuzatishi) yetarli. ■ Amalda δ = 0,05 va 15 600 jumladan iborat validatsiya to'plami uchun tuzatish hadi 0,08 foiz punktni tashkil etdi, ya'ni kafolat amaliy jihatdan qattiq. 2.4. Ekspert mehnati modeli Raqamlashtirish loyihasining umumiy xarajati ikki qismdan iborat: rad etilgan so'zlarni ekspert tekshiruvi va avtomatik qabul qilingan qismda qolgan xatolarni keyinchalik tuzatish xarajati: 𝐶(𝜏) = 𝑐ℎ · (1 – 𝑐(𝜏)) + 𝑐𝑒 · 𝑐(𝜏) · 𝑅(𝜏) (6) bu yerda c_h — bitta so'zni qo'lda tekshirish narxi, c_e — e'lon qilingandan keyin aniqlangan xatoni tuzatish narxi (odatda c_e ≫ c_h). Optimal chegara C(τ) ning minimumidan topiladi; monotonlik xossasi tufayli u yagona bo'ladi va oddiy bir o'lchovli qidiruv bilan aniqlanadi. 2.5. Arxitektura, korpus va dasturiy majmua Tizimning umumiy arxitekturasi 1-rasmda keltirilgan. Asosiy transliteratsiya modeli sifatida belgi darajasidagi transformer ishlatildi; ansambl beshta mustaqil initsializatsiyadan iborat. Kalibrlash validatsiya to'plamida amalga oshiriladi. Ekspert tomonidan kiritilgan tuzatishlar bazaga yig'iladi va haftalik qayta o'qitish siklida modelga qaytariladi. 1-rasm. SELTRANS tizimining arxitekturasi: ansambl, kalibrlash, so'z darajasidagi noaniqlik, selektiv qoida va faol o'qitish sikli. 69

Tajribalar 1-maqolada tavsiflangan bilan bir xil parallel korpusda o'tkazildi: 124 800 jumla o'qitish, 15 600 validatsiya va 15 600 test uchun, taqsimlash manba hujjatlari darajasida. Dasturiy majmua Python 3.11, PyTorch 2.2, FastAPI va PostgreSQL texnologiyalarida, foydalanuvchi interfeysi esa React asosida qurilgan. 3. NATIJALAR 3.1. Kalibrlash sifati 2-rasmda ishonchlilik diagrammalari keltirilgan. Kalibrlashgacha model tizimli ravishda haddan tashqari ishonchli: 0,9 ishonch darajasida haqiqiy aniqlik atigi 0,77 ni tashkil etadi. Temperatura kalibrlashdan keyin (T* = 1,68) egri chiziq diagonal bilan deyarli ustma-ust tushadi, ECE 11,4 % dan 1,3 % gacha kamayadi. 2-rasm. Ishonchlilik diagrammalari: (a) kalibrlashgacha, ECE = 11,4 %; (b) temperatura kalibrlashdan keyin, ECE = 1,3 %. 1-jadvalda noaniqlikni baholashning turli usullari qiyoslangan. Chuqur ansambl va kalibrlash kombinatsiyasi barcha ko'rsatkichlar bo'yicha ustunlikka ega; xatolarni aniqlash qobiliyati (AUROC) 0,782 dan 0,903 gacha oshgan. Usul 1-jadval. Noaniqlikni baholash usullarining qiyosiy tahlili (test to'plami). ECE, % Brier AUROC Qamrov @ R* = 1,5 % Softmax ishonchi 11,40 0,148 0,782 58,1 % MC-dropout (20 o'tish) 7,20 0,121 0,831 68,7 % Evidensial model 5,80 0,113 0,848 73,2 % Chuqur ansambl (M = 5) 3,60 0,094 0,879 81,4 % Ansambl + kalibrlash (taklif) 1,30 0,081 0,903 86,4 % 70

3-rasm. Noaniqlikni baholash usullari: ECE va Brier ko'rsatkichlari (ustunlar, chap o'q) hamda xatoni aniqlash AUROC (chiziq, o'ng o'q). 3.2. Risk–qamrov tahlili 4-rasmda asosiy natija — risk-qamrov egri chiziqlari keltirilgan. Egri chiziq qanchalik pastda joylashgan bo'lsa, bir xil qamrovda qoldiq xatolik shunchalik kam bo'ladi. Taklif etilgan usul barcha qamrov qiymatlarida softmax chegarasidan ustun turadi va ideal (oracle) tartiblashga eng yaqin natijani beradi. 1,5 % maqsadli risk uchun qamrov 86,4 % ni tashkil etadi, ya'ni so'zlarning atigi 13,6 % i ekspertga yo'naltiriladi. 4-rasm. Risk–qamrov egri chiziqlari. Gorizontal punktir — maqsadli qoldiq xatolik R* = 1,5 %; vertikal punktir — unga mos qamrov. 2-jadvalda turli maqsadli risk darajalari uchun ish rejimlari keltirilgan. Diqqatga sazovor jihati shundaki, hatto juda qattiq 0,5 % talabda ham tizim so'zlarning 61 % ini avtomatik qabul qila oladi, holbuki umumiy (selektiv bo'lmagan) WER 8,6 % ni tashkil etadi. Bu noaniqlik bahosining xatolarni haqiqatan ham samarali ajratayotganini ko'rsatadi. 71

Maqsadli risk R*, % Chegara τ* Qamrov, % 2-jadval. Maqsadli risk darajalariga mos ish rejimlari. Kuzatilgan Ekspert mehnati, risk, % % 0,5 0,11 61,3 0,48 38,7 1,0 0,19 77,1 0,97 22,9 1,5 0,27 86,4 1,48 13,6 2,0 0,34 91,2 1,96 8,8 3,0 0,48 96,1 2,94 3,9 Selektivsiz (c = 100 %) — 100,0 8,60 0,0 3.3. Ekspert mehnati va iqtisodiy samara 5-rasmda uch strategiya bo'yicha ekspert mehnati sarfi solishtirilgan. To'liq qo'lda tekshiruvga nisbatan taklif etilgan usul 1,5 % kafolatlangan xatolik darajasida mehnat sarfini 69 % ga, kalibrlanmagan softmax chegarasiga nisbatan esa 46 % ga kamaytiradi. 200 000 so'zli tipik fond uchun bu barcha matnni qayta o'qish o'rniga atigi 27 200 so'zni tekshirish demakdir. 5-rasm. Turli kafolatlangan xatolik darajalarida ekspert mehnati sarfi (to'liq qo'lda tekshiruvga nisbatan foizda). (6) xarajat modeliga ko'ra, c_e / c_h = 8 nisbatida optimal chegara τ = 0,31 ga, umumiy xarajatning kamayishi esa 64 % ga teng bo'ldi. Nisbat oshgan sari (ya'ni kech aniqlangan xato qimmatroq bo'lgan sari) optimal chegara kamayadi va tizim ehtiyotkorroq ishlaydi, bu esa modelning kutilgan xulq-atvoridir. 3.4. Faol o'qitish sikli Ekspert tuzatishlari modelni qayta o'qitishda foydalanildi. 3-jadvalda to'rtta sikl natijalari keltirilgan. Har bir siklda avval rad etilgan, ya'ni model uchun eng qiyin bo'lgan so'zlar o'qitishga qo'shiladi — bu tasodifiy tanlashga nisbatan ancha samarali. 72

Sikl 3-jadval. Faol o'qitish sikllarining natijalari (R* = 1,5 % qayd etilgan holda). Qo'shilgan Umumiy Qamrov @ Mehnat tuzatishlar WER, % 1,5 % kamayishi, % 0 8,60 86,4 % — 1 4 128 7,91 88,2 % 13,2 2 8 640 7,34 90,1 % 27,2 3 13 210 6,98 91,4 % 36,8 4 17 905 6,71 92,3 % 43,4 Tasodifiy tanlash (4-sikl, taqqoslash) 17 905 7,86 88,6 % 16,2 0 (boshlang'ich) 3.5. Dasturiy majmua 6-rasmda majmuaning ish oynasi keltirilgan. Chap panelda transliteratsiya natijasi ko'rsatiladi, unda past ishonchli so'zlar rang bilan ajratiladi; o'ng panelda ekspert navbati joylashgan bo'lib, u noaniqlik bo'yicha tartiblangan va har bir so'z uchun muqobil nomzodlarni taqdim etadi. Pastki qatorda joriy qamrov, kafolatlangan qoldiq risk va tejalgan mehnat ko'rsatkichlari real vaqtda yangilanib turadi. 6-rasm. SELTRANS dasturiy majmuasining ish oynasi: transliteratsiya natijasi, noaniqlik bo'yicha tartiblangan ekspert navbati va kafolat ko'rsatkichlari. 4. MUHOKAMA Olingan natijalar transliteratsiya tizimlarini baholashda o'rtacha aniqlik yagona mezon bo'la olmasligini ko'rsatadi. Ikki tizim bir xil WER ga ega bo'lishi, lekin ulardan biri xatolarini ajrata olishi, ikkinchisi esa ajrata olmasligi mumkin; amaliy qiymat jihatidan bu tizimlar tubdan farq 73

qiladi. Shu sababli risk-qamrov egri chizig'i va uning ostidagi maydon transliteratsiya tizimlari uchun standart baholash vositasi sifatida taklif etiladi. Ikkinchi muhim kuzatish — kalibrlashning hissasi. Kalibrlanmagan ansambl ham xatolarni ajratishda yaxshi ishlaydi (AUROC 0,879), biroq uning chiqishi ehtimollik sifatida ishonchsiz bo'lgani uchun berilgan R* ga mos chegarani tanlab bo'lmaydi: amalda tanlangan chegara haqiqiy riskni 2–3 baravar oshirib yuboradi. Ya'ni kalibrlash aniqlikni emas, kafolatni ta'minlaydi — bu esa aynan arxiv ish oqimida talab qilinadigan narsadir. Uchinchidan, yondashuv model arxitekturasidan mustaqil. Uni 1-maqolada tavsiflangan global dekodlash algoritmi ustiga ham qo'llash mumkin: u holda boshlang'ich WER pasayadi va bir xil R* da qamrov yanada oshadi. Ikki yondashuvni birlashtirish kelgusi ishlarning istiqbolli yo'nalishidir. Cheklovlar. Nazariy kafolat validatsiya va joriy fond taqsimotlarining mosligiga tayanadi; boshqa davr yoki janrdagi manbalarga o'tishda kalibrlash qayta o'tkazilishi kerak. Bundan tashqari, ansambl beshta modelni saqlash va ishlatishni talab qiladi, bu hisoblash xarajatini taxminan besh baravar oshiradi; distillatsiya orqali bu xarajatni kamaytirish alohida tadqiqot mavzusi bo'lishi mumkin. 5. XULOSALAR Ishda eski o'zbek yozuvi transliteratsiyasi selektiv bashorat masalasi sifatida qo'yildi va berilgan qoldiq xatolik darajasini kafolatlovchi algoritm ishlab chiqildi. Selektiv riskning monotonligi, chegaraviy qoidaning optimalligi va cheklangan namunadagi statistik kafolat isbotlandi. Tajribalar kalibrlangan chuqur ansambl ECE ni 11,4 % dan 1,3 % gacha kamaytirishini va xatolarni aniqlash AUROC ko'rsatkichini 0,903 gacha oshirishini ko'rsatdi. 1,5 % kafolatlangan qoldiq xatolik rejimida tizim so'zlarning 86,4 % ini avtomatik qabul qiladi va ekspert mehnatini 69 % ga qisqartiradi; faol o'qitishning to'rt sikli bu ko'rsatkichni 92,3 % gacha yetkazdi. Natijalar asosida ekspert navbati va tuzatishlar bazasini o'z ichiga olgan veb-majmua yaratildi. Kelgusi ishlarda ansamblni distillatsiya orqali siqish, taqsimot siljishini avtomatik aniqlash va yondashuvni boshqa tarixiy yozuvlarga kengaytirish ko'zda tutilgan. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 1. Rahimov, A.; Karimov, D. Rule-based transliteration of Chagatai manuscripts into modern Uzbek Latin script. Journal of Digital Humanities in Central Asia, 2022, 4, 55–71. 2. Wu, S.; Cotterell, R.; Hulden, M. Applying the transformer to character-level transduction. In Proceedings of EACL, Kyiv, Ukraine, 2021; pp. 1901–1907. 3. Yusupov, S.; Tursunov, B. A dictionary-driven approach to Perso-Arabic Uzbek text conversion. International Journal of Asian Language Processing, 2021, 31, 1–18. 4. Guo, C.; Pleiss, G.; Sun, Y.; Weinberger, K. On calibration of modern neural networks. In Proceedings of ICML, Sydney, Australia, 2017; pp. 1321–1330. 5. Geifman, Y.; El-Yaniv, R. Selective classification for deep neural networks. In Advances in Neural Information Processing Systems, Long Beach, CA, USA, 2017; pp. 4878–4887. 6. Lakshminarayanan, B.; Pritzel, A.; Blundell, C. Simple and scalable predictive uncertainty estimation using deep ensembles. In Advances in Neural Information Processing Systems, Long Beach, CA, USA, 2017; pp. 6402–6413. 74

7. El-Yaniv, R.; Wiener, Y. On the foundations of noise-free selective classification. Journal of Machine Learning Research, 2010, 11, 1605–1641. 8. Mohri, M.; Pereira, F.; Riley, M. Speech recognition with weighted finite-state transducers. In Springer Handbook of Speech Processing; Springer: Berlin, Germany, 2008; pp. 559–584. 9. Chow, C. On optimum recognition error and reject tradeoff. IEEE Transactions on Information Theory, 1970, 16, 41–46. 10. Gal, Y.; Ghahramani, Z. Dropout as a Bayesian approximation: representing model uncertainty in deep learning. In Proceedings of ICML, New York, NY, USA, 2016; pp. 1050– 1059. 11. Sensoy, M.; Kaplan, L.; Kandemir, M. Evidential deep learning to quantify classification uncertainty. In Advances in Neural Information Processing Systems, Montreal, Canada, 2018; pp. 3179–3189. 12. Settles, B. Active Learning Literature Survey; Computer Sciences Technical Report 1648; University of Wisconsin–Madison: Madison, WI, USA, 2009. 13. Hoeffding, W. Probability inequalities for sums of bounded random variables. Journal of the American Statistical Association, 1963, 58, 13–30. 14. Angelopoulos, A.; Bates, S. Conformal prediction: a gentle introduction. Foundations and Trends in Machine Learning, 2023, 16, 494–591. 15. Kumar, A.; Liang, P.; Ma, T. Verified uncertainty calibration. In Advances in Neural Information Processing Systems, Vancouver, Canada, 2019; pp. 3792–3803. DVB-T2 STANDARTIDAGI RAQAMLI TELEVIZION UZATKICHLARDA OFDMSIGNALLARINI KUCHAYTIRISHDA DOHERTY ARXITEKTURASIGA EGA QUVVAT KUCHAYTIRGICHLARINING ENERGETIK VA CHIZIQLI XARAKTERISTIKALARINI TIZIMLI OPTIMALLASHTIRISH Yarmuxamedov A.A.1, Jabborov A.B. 2 Islom Karimov nomidagi Toshkent davlat texnika universiteti. jabbarov.alibek@tdtu.uz Annotatsiya. Ushbu ish DVB-T2 standarti bo‘yicha raqamli teleuzatkichlarda OFDM signallarini kuchaytirish uchun qo‘llaniladigan Doherty arxitekturali quvvatli kuchaytirgichlarning energetik va chiziqli xarakteristikalarini tizimli optimallashtirishga bag‘ishlangan. Biz OFDM modulyatsiyasiga xos bo‘lgan, pik quvvatining o‘rtacha quvvatga nisbati yuqori bo‘lgan sharoitlarda quvvat kuchaytirgichining ishlash xususiyatlarini ko‘rib chiqdik. Shuningdek, kuchaytirish kaskadlarining ish rejimlari va chiqish zanjirlari parametrlarining foydali ish koeffitsiyentiga, kuchaytirishning chiziqliligiga hamda signal sifatiga qanday ta’sir ko‘rsatishi tadqiq etildi. Doherty arxitekturasi DVB-T2 standartining chiziqlilik va spektral tozalik bo‘yicha talablariga rioya etgan holda, chiqish quvvati kamayganda ham energetik samaradorlikni oshirish imkonini berishi aniqlandi. Olingan natijalar raqamli teleuzatkichlarni loyihalash va modernizatsiya qilishda foydali bo‘lishi mumkin. Kalit so‘zlar. Quvvat kuchaytirgichi; Doherty arxitekturasi, DVB-T2, OFDM, energiya samaradorligi, chiziqliligi, PAPR, MER va energiya iste’moli. 75

1. KIRISH Telekommunikatsiya tizimlari rivojlanishining zamonaviy bosqichi axborot uzatish sifati, radio uzatuvchi qurilmalarning spektral samaradorligi va energiya tejamkorligiga qo‘yiladigan talablarning barqaror o‘sishi bilan tavsiflanadi. Bunday sharoitda raqamli efir televideniyesi ko‘plab mamlakatlarda milliy teleradioeshittirish tarmoqlarini modernizatsiya qilishning muhim yo‘nalishiga aylandi. Yer usti raqamli televideniyesining ikkinchi avlodi bo‘lgan DVB-T2 standarti o‘zidan avvalgi DVB-T standartiga nisbatan o‘tkazuvchanlik qobiliyatini sezilarli darajada oshirish, shovqinlarga chidamlilikni yaxshilash va radiochastota spektridan samaraliroq foydalanish maqsadida yaratilgan. DVB-T2’ning asosiy afzalliklaridan biri bu - OFDM ko‘p chastotali ortogonal modulyatsiyasining yuqori samarali kanal kodlash usullari hamda QPSK, 16-QAM, 64-QAM va 256-QAM kabi turli modulyatsiya rejimlari bilan birgalikda qo‘llanilishidir. Bu televizion kanalning cheklangan chastota polosasida foydali axborotni uzatish tezligini sezilarli darajada oshirishga va signalning ko‘p nurli tarqalishiga nisbatan chidamliligini yuksaltirishga imkon beradi. DVB-T2 standartini joriy etish, ayniqsa, radiochastotalardan foydalanish zichligi yuqori, radioto‘lqinlar tarqalish sharoitlari murakkab va qabul qilish sifatiga qat’iy talablar qo‘yiladigan yirik shaharlar va megapolislar uchun muhim ahamiyat kasb etadi. Bunday sharoitlarda uzatuvchi uskunaning, xususan, quvvat kuchaytirgichining ishlash samaradorligi televizion eshittirishning ishonchliligi va sifatini ta’minlashda hal qiluvchi rol o‘ynaydi. Quvvat kuchaytirgichi — uzatkichning eng ko‘p energiya sarflaydigan va texnik jihatdan eng murakkab elementi bo‘lib, chiqish quvvati, signalning chiziqliligi, spektral tozaligi va butun tizimning ekspluatatsion ishonchliligi bevosita uning xarakteristikalariga bog‘liqdir. DVB-T2 standartining barcha yaqqol afzalliklariga qaramay, uni amalda joriy etish bir qator jiddiy muhandislik muammolariga duch kelmoqda. Eng muhimlaridan biri - uzatkichning radiochastota traktida OFDM-signallarini kuchaytirishdir. OFDM-signali - bu har biri mustaqil raqamli ma’lumotlar bilan modulyatsiya qilinadigan ko‘plab ortogonal quyi tashuvchilarning birikmasidir. Natijada bunday signalning vaqt bo‘yicha shakli yaqqol nostatsionarligi va amplitudaning yuqori oniy piklari mavjudligi bilan ajralib turadi. OFDM-signalining asosiy parametri PAPR (Peak-to-Average Power Ratio) deb nomlanuvchi pik quvvatining o‘rtacha quvvatga nisbatidir. DVB-T2 signallari uchun PAPR qiymati 8–10 dB va undan ham yuqori bo‘lishi mumkin, bu esa signalning pik quvvati uning o‘rtacha qiymatidan ancha yuqori ekanligini anglatadi. Amaliy nuqtayi nazardan, bu quvvat kuchaytirgichining aksariyat vaqt davomida to‘yinish darajasiga nisbatan chiqish quvvati sezilarli darajada pasaytirilgan rejimda, ya’ni “backoff” deb ataladigan rejimda ishlashiga olib keladi. A yoki AB sinflarida ishlaydigan an’anaviy quvvat kuchaytirgichlarining samaradorligi “back-off” rejimida ishlaganda keskin pasayadi. Bunga sabab, chiqish quvvati past bo‘lganda ham, kuchaytirgich iste’mol qiladigan tok ancha yuqori bo‘lib qoladi, bu esa energiyaning sezilarli yo‘qotilishiga va issiqlik ajralishining ortishiga olib keladi. Uzoq vaqt davomida uzluksiz ishlashi zarur bo‘lgan DVB-T2 uzatkichlari uchun bunday yo‘qotishlar iqtisodiy tejamkorlik, ishonchlilik va sovutish tizimiga qo‘yiladigan talablar nuqtayi nazaridan mutlaqo nomaqbuldir[1-10]. Bundan tashqari, OFDM-signallarini kuchaytirish quvvat kuchaytirgichining chiziqliligiga juda qat’iy talablar qo‘yadi. Aktiv elementlarning nochiziqli xarakteristikalari AM-AM va AMPM o‘zgarishlari deb nomlanuvchi amplituda va faza buzilishlarini keltirib chiqarishi mumkin. Bu 76

buzilishlar polosadan tashqari nurlanishlarning ko‘payishiga, spektral niqobning yomonlashishiga va qabul qilinayotgan signal sifatining pasayishiga olib keladi, bu esa MER (Modulation Error Ratio), EVM (Error Vector Magnitude) va ACLR (Adjacent Channel Leakage Ratio) kabi parametrlarning yomonlashishida namoyon bo‘ladi. DVB-T2 standarti uchun spektral niqob va chiziqlilik talablariga rioya qilmaslik qo‘shni televizion kanallarda shovqinlarni yuzaga keltirishi, ishonchli qabul qilish hududini qisqartirishi va milliy aloqa regulyatorlarining me’yoriy talablarini buzishi mumkin. Shu bois DVB-T2 uchun quvvat kuchaytirgichini loyihalash bir vaqtning o‘zida yuqori chiziqlilik, energetik samaradorlik va chiqish quvvati darajalarining keng diapazonida barqaror ishlashga erishishni talab qiladigan murakkab, ko‘p mezonli vazifaga aylanadi. 2. ISHNING MAQSADI VA VAZIFALARI Bunday sharoitda DVB-T2 standartidagi OFDM-signallari bilan ishlash uchun optimallashtirilgan quvvat kuchaytirgichlarini tadqiq qilish va ishlab chiqish alohida ahamiyat kasb etadi. Radiouzatuvchi qurilmalar sohasidagi zamonaviy yechimlar tobora ko‘proq Doherty arxitekturasi kabi ixtisoslashtirilgan quvvat kuchaytirgich arxitekturalariga asoslanmoqda hamda LDMOS va GaN-tranzistorlar kabi zamonaviy yarimo‘tkazgich texnologiyalari va nochiziqlikni kompensatsiyalashning raqamli usullari bilan birgalikda qo‘llanilmoqda. Ushbu ishning maqsadi DVB-T2 standarti uzatgichi uchun mo‘ljallangan quvvat kuchaytirgichining ishlash prinsiplari va xarakteristikalarini tadqiq etishdan iborat. Shuningdek, pik-faktori yuqori bo‘lgan OFDM-signallarini kuchaytirishda yuqori chiziqlilik va energiya samaradorligini ta’minlash maqsadida uning texnik parametrlarini tahlil qilamiz. Quvvat kuchaytirgich arxitekturasining jismoniy va funksional xususiyatlariga, shuningdek, ish rejimlarining signal sifati va energiya ko‘rsatkichlarining asosiy parametrlariga ta’siriga alohida e’tibor qaratiladi. Bundan tashqari, kuchaytirgichning ishlash prinsipi va uning ekspluatatsion xususiyatlari o‘rtasidagi o‘zaro bog‘liqlikni ham ko‘rib chiqamiz. Qo‘yilgan maqsadga erishish uchun ushbu ishda bir nechta ilmiy-texnik vazifalarni hal qilish rejalashtirilgan. Birinchidan, DVB-T2 standartidagi OFDM-signallarining o‘ziga xos xususiyatlarini tahlil qilish va uzatgichning quvvat kuchaytirgichiga qo‘yiladigan asosiy talablarni aniqlash lozim. Ikkinchidan, quvvat pasayganda foydali ish koeffitsiyentini oshirishga yordam beruvchi mexanizmlarga e’tibor qaratgan holda, yuqori PAPR sharoitida ishlaydigan quvvat kuchaytirgichining ishlash prinsipini ko‘rib chiqish muhimdir. Uchinchidan, quvvat kuchaytirgichining chiqish quvvati, kuchaytirish koeffitsiyenti, FIK, chiziqlilik va spektral tozalik kabi asosiy texnik parametrlarini tahlil qilish hamda ularning DVB-T2 standarti talablariga muvofiqligini baholash zarur. Ushbu ish natijalari raqamli efir televideniyesi uzatgichlarini loyihalash, modernizatsiya qilish va ulardan foydalanishda foydali bo‘lishi mumkin. Ular, shuningdek, o‘quv jarayonida radiouzatuvchi qurilmalar, raqamli aloqa tizimlari va energiya tejamkor radiotexnika bilan bog‘liq fanlarni o‘rganish uchun qo‘llanilishi mumkin. Olingan xulosalar raqamli televizion ko‘rsatuvlar samaradorligi va sifatini oshirish ustida ishlayotgan muhandislar va tadqiqotchilar uchun qiziqarlidir. DVB-T2 standartining radiouzatuvchi qurilmalarning chiziqliligi, spektral tozaligi va energiya samaradorligiga qo‘yadigan talablari sababli, quvvat kuchaytirgichi, ayniqsa OFDMsignalining pik-faktori yuqori bo‘lgan sharoitlarda, uzatgichning asosiy elementiga aylanadi. 77

Uzatish sifatining zarur ko‘rsatkichlarini ta’minlash va ayni vaqtda energiya yo‘qotishlarini kamaytirish uchun chiqish quvvati pasaytirilgan rejimda (output back-off) ishlaydigan quvvat kuchaytirgichlarining maxsus arxitekturalaridan foydalanish zarur. Ushbu ishda biz DVB-T2 standartidagi eshittirish uzatgichlarida keng qo‘llaniladigan Doherty tipidagi quvvat kuchaytirgich arxitekturasini ko‘rib chiqamiz. Quyida DVB-T2 quvvat kuchaytirgichining tuzilishi, uning asosiy qismlari va ularning eshittirish uzatgichi tarkibidagi funksional vazifalari tavsiflanadi. Efir televideniyesi (UHF) uchun mo‘ljallangan DVB-T2 uzatkichlarida quvvat kuchaytirgichi deyarli har doim Doherty PA tarzida amalga oshiriladi. Bunga sabab, OFDM signali yuqori PAPRga ega bo‘lib, uzatkich aksariyat vaqtini back-off rejimida ishlaydi. Tuzilmaviy jihatdan quvvat kuchaytirish trakti bir nechta funksional kaskadni o‘z ichiga oladi [1– 10]. 1. Drayver kuchaytirgichi (Driver/Pre-PA): bu komponent RF-signal darajasini chiqish tranzistorlari LDMOS yoki GaN bo‘lishidan qat’i nazar, ularni boshqara oladigan darajaga ko‘taradi. 2. Kirish bo‘lgichi (fazashakllantirgich): uning vazifasi – signalni Main va Peak yelkalariga mo‘ljallangan, belgilangan amplituda-faza nisbatiga ega bo‘lgan ikkita kanalga ajratishdir. 3. Asosiy yelka (Main, Carrier PA): bu uzluksiz ishlaydigan AB sinfidagi (yoki “yumshoq AB”) kuchaytirgich. U signalning past va o‘rta darajalarida chiziqlilikni ta’minlab, quvvatning asosiy qismini back-off sohasida hosil qiladi. 4. Pik yelkasi (Peak, Peaking PA): bu C sinfidagi (yoki chuqur AB) kuchaytirgich bo‘lib, past darajalarda deyarli nofaol bo‘ladi va faqat OFDM-qobig‘ining katta lahzali amplitudalarida ishga tushadi. 5. Doherty jamlagichi va λ/4-impedans invertori: bu tugunlar Doherty arxitekturasining asosiy xususiyati - asosiy yelka yuklamasining dinamik modulyatsiyasini amalga oshiradi. 6. Chiqish filtri (mask filter): u eshittirishning spektral niqobiga muvofiqlikni ta’minlash uchun polosadan tashqari nurlanishlar va garmonikalarni cheklaydi. 7. Yo‘naltirilgan tarmoqlagich (datchiklar): ALC (avtomatik rostlash), VSWR himoyasi va DPD qayta aloqasi uchun to‘g‘ri va qaytgan quvvatni nazorat qiladi. Doherty arxitekturasiga asoslangan DVB-T2 quvvat kuchaytirgichining tuzilishi uzatkichning asosiy tugunlari o‘zaro qanday ta’sirlashishini belgilab beradi hamda keng polosalab raqamli signal bilan ishlashda energiya samaradorligini oshirish imkonini beradi. Biroq, shuni ta’kidlash joizki, ushbu arxitekturadan foydalanishning maqsadga muvofiqligi faqatgina kuchaytirgichning konstruktiv xususiyatlariga emas, balki kuchaytirilayotgan signalning asosiy xossalariga ham bog‘liqdir. Doherty arxitekturasini tanlashni asoslash uchun DVB-T2 standartidagi OFDM-signalining xususiyatlarini, ayniqsa, uning pik-faktorini va kuchaytirgichning pik chiqish quvvatiga qo‘yiladigan tegishli talablarni tahlil qilish zarur. Endi OFDM-signalining yuqori PAPR ko‘rsatkichi quvvat kuchaytirgichining ish rejimlariga qanday ta’sir qilishini ko‘rib chiqamiz va DVB-T2 radioeshittirish uzatkichlaridagi pik yuklamalarning miqdoriy tahlilini o‘tkazamiz. DVB-T2 OFDM-signali haqiqatan ham yuqori pik-faktorga ega [1-4,6,7,10-13]: 𝑃 𝑃 𝑃𝐴𝑅𝑃 = 𝑃𝑝𝑒𝑎𝑘 , 𝑃𝐴𝑅𝑃𝑑𝐵 = 10 log10 ( 𝑃𝑝𝑒𝑎𝑘 ) 𝑎𝑣𝑔 𝑎𝑣𝑔 78 (1)

DVB-T2 uchun odatda o‘rovchi chiziq bo‘yicha 8-10 dB diapazondagi loyihalash darajasi qabul qilinadi (aniq qiymat rejim, pilot-signallar va klippingga bog‘liq). Misol uchun, Pavg = 2 kVt bo‘lgan eshittirish uzatgichini olsak (manbada Toshkent teleminorasi uchun ko‘rsatilganidek), PAPR = 9 dB bo‘lganda quyidagi nisbat hosil bo‘ladi: 109/10 ≈ 7,94 (2) Bunday holda o‘rama chiziqning pik (yuqori) quvvati (PEP) quyidagicha bo‘ladi: 𝑃𝑝𝑒𝑎𝑘 ≈ 2000 ∙ 7,94 = 19,9 кВт (3) Demak, agar o‘rtacha quvvat 2 kV·t bo‘lsa, kuchaytirish trakti o‘rab oluvchi chiziq bo‘ylab taxminan 16 kVt lik oniy piklarni qayta ishlay olishi kerak. Aks holda muammolar boshlanadi: kompressiya, diapazondan tashqari nurlanishlarning ortishi va MER/EVM ko‘rsatkichining yomonlashishi. Aynan shuning uchun oddiy AB sinfi qo‘shimcha choralarsiz katta Chiqish quvvati pasayishi (OBO) bilan ishlashga majbur bo‘ladi: 𝑃 𝑂𝐵𝑂𝑑𝐵 = 10 log10 (𝑃𝑠𝑎𝑡 ) 𝑎𝑣𝑔 (4) Odatda, DVB-T2 ning spektral niqobi va chiziqliligini ta’minlash uchun DPD, filtr va regulyator talablariga qarab, taxminan 6 dB dan 9 dB gacha bo‘lgan OBO tanlanadi. Bunday backoff holatida an’anaviy AB sinfining foydali ish koeffitsiyenti sezilarli darajada pasayadi va bu Doherti texnologiyasidan foydalanish zaruratini yuzaga keltiradi. DVB-T2 standarti OFDM signalining pik-faktori va u bilan bog‘liq bo‘lgan kuchaytirgichning eng yuqori chiqish quvvatiga qo‘yiladigan talablar tahlili shuni ko‘rsatadiki, uzatkichning samarali ishlashi chiqish back-off rejimida yuqori energiya samaradorligini ta’minlaydigan maxsus arxitekturasiz imkonsizdir. Bu talablar kuchaytirish traktini funksional jihatdan bir necha kaskadga ajratish orqali amalga oshiriladi, ularning har biri signal o‘rab turuvchisining sathiga bog‘liq holda optimal rejimda ishlaydi. Shu munosabat bilan, keyingi qismda biz Doherti quvvat kuchaytirgichining alohida kaskadlari vazifasini ko‘rib chiqamiz hamda ularning chiqish signalini shakllantirishdagi, shuningdek, zarur energetik va chiziqli xususiyatlarni ta’minlashdagi jismoniy rolini tahlil qilamiz. Drayver kaskadi chiqish tranzistorlarining zaruriy qo‘zg‘alish darajasi uchun mas’ul bo‘lib, sozlash uchun “zaxira” yaratadi. Radioeshittirish tizimlarida drayver ancha chiziqli rejimda ishlaydi, chiqish quvvatining umumiy nazorati esa qo‘zg‘alish darajasiga ta’sir qiluvchi ALC orqali amalga oshiriladi. Bundan tashqari, drayver keng poloslilikni (kanal polosasi 8 MHz) va faza barqarorligini ta’minlashi kerak, chunki Main va Peak tarmoqlari orasidagi faza xatoliklari signallar yig‘indisi sifatini va chiziqlilikni yomonlashtirishi mumkin [1,2,7,8,14]. Doherty arxitekturasida ikkala yelkaning toklari (yoki ekvivalent chiqish kuchlanishlari) to‘g‘ri yig‘ilishi o‘ta muhim. Shu sababli, kirish bo‘luvchisi quyidagilarni belgilaydi: - Main va Peak yelkalarining qo‘zg‘atish amplitudalari nisbatini; - fazalar nisbatini (ko‘pincha 90°li gibrid yoki ekvivalent zanjir orqali). 79